Demostración de la fórmula cuadrática o fórmula general que resuelve ecuaciones cuadráticas

¡Hola a todos!

En esta entrada del blog les comparto la demostración detallada de la fórmula general utilizada para resolver ecuaciones cuadráticas. Entender de dónde viene nos da una apreciación más profunda e interesante de las matemáticas. 

La demostración parte de la aplicación del método de Completación de Cuadrados.

Demostración de la fórmula cuadrática

  • Paso 1: La ecuación cuadrática

La ecuación cuadrática que vamos a resolver es: \(ax^2 + bx + c = 0\)

  • Paso 2: Dividir por \(a\)

Para simplificar la ecuación, dividimos todos los términos entre  \(a\) (asumiendo que \(a \neq 0\)):

\(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)

  • Paso 3: Separar las variables 
A continuación dejamos al lado izquierdo los términos que contienen la variable x y al lado derecho los términos independientes. Es decir, movemos el término constante al lado derecho de la ecuación:

\(x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\)

  • Paso 4: Completar el cuadrado

Para completar el cuadrado, tomamos la mitad del coeficiente del término lineal \(x\), lo elevamos al cuadrado y lo sumamos a ambos lados de la ecuación.


  •  La mitad del coeficiente de \(x\) es: \(\frac{b}{a} \div 2 = \frac{b}{2a}\)
  •  El cuadrado de este término es: \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2}\)

Sumamos este valor a ambos lados y así la ecuación no se altera:

\(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}\)

  • Paso 5: Factorizar y simplificar

El lado izquierdo ahora es un trinomio cuadrado perfecto y se puede factorizar. El lado derecho se puede combinar en una sola fracción con un denominador común:

\(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}\)

Para el lado derecho, el denominador común es \(4a^2\):

\(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\)

  • Paso 6: Sacamos la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación. 
Recordemos que al extraer la raíz cuadrada obtenemos el signo \(\pm\) porque obtenemos dos valores positivo y negativo:

\(x + \frac{b}{2a} = \pm\sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}\)

Simplificamos la raíz cuadrada del denominador:

\(x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

  • Paso 7: Despejar \(x\)

Finalmente, despejamos \(x\) moviendo el término \(\frac{b}{2a}\) al lado derecho:

\(x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, se escribe el mismo denominador y se realizan las operaciones del numerador:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

¡Y así llegamos a la fórmula cuadrática!

Espero que esta demostración te haya sido útil y te ayude a comprender lo interesante de las fórmulas matemáticas. Comprender estos conceptos fundamentales es clave para desarrollar una base sólida en álgebra. 

Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.

Swokowski, E. W., & Cole, J. (2009). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica (Décimo Segunda edición). Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.


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