Cómo Calcular el Vértice de una Parábola: Una Demostración Completa de sus Fórmulas

¡Hola a todos!

En el mundo de las matemáticas, las parábolas son una de las curvas más importantes y con aplicaciones que van desde la física hasta la ingeniería. Su punto más característico es el vértice, que marca el punto más alto (máximo) o más bajo (mínimo) de la curva. En esta entrada, te guiaré a través de una demostración paso a paso para calcular el vértice de cualquier parábola, utilizando las herramientas del cálculo diferencial. 

Empezamos:

Cálculo del vértice de una parábola.

La función que representa una parábola es:

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$

Para entender de dónde provienen las fórmulas del vértice de una parábola, vamos a conectar dos áreas de las matemáticas: el Álgebra y el Cálculo.

Sabemos que una parábola, representada por la función cuadrática \(f(x) = ax^2 + bx + c\), tiene un punto extremo: un máximo (si se abre hacia abajo) o un mínimo (si se abre hacia arriba). Este punto se conoce como el vértice y sus coordenadas son \((h,k)\).

En el mundo del cálculo, el punto donde una función alcanza su máximo o mínimo se llama punto crítico. Para encontrar este punto, la técnica es muy sencilla:

  1. Calculamos la derivada de la función.

  2. Igualamos esa derivada a cero y resolvemos para x (despejamos x).

Solución:

Determinación del punto crítico.

Para encontrar el punto crítico, primero calculamos la primera derivada de la función.

$$f'(x) = 2ax + b$$

Igualamos la derivada a cero para encontrar el valor de \(x\) del punto crítico.

$$2ax + b = 0$$

Despejamos \(x\):

$$x = -\frac{b}{2a}$$

Esto significa que la función tiene un máximo o un mínimo en \(x = -\frac{b}{2a}\). Este es el valor de \(h\) en las coordenadas del vértice \((h,k)\).

Cálculo de la componente \(k\) del vértice.

Para determinar la componente \(y\) (o \(k\) del vértice, sustituimos el valor de \(x\) que encontramos en la función original \(f(x)\).

$$f\left(-\frac{b}{2a}\right) = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c$$

$$= a\left(\frac{b^2}{4a^2}\right) - \frac{b^2}{2a} + c$$

$$= \frac{ab^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c$$

$$= \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c$$

Para sumar las fracciones, encontramos un denominador común, que es \(4a\).

$$= \frac{b^2}{4a} - \frac{2b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a}$$

$$= \frac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a}$$

$$k = f\left(-\frac{b}{2a}\right) = \frac{-b^2 + 4ac}{4a}$$

$$k = \frac{4ac - b^2}{4a}$$

Por lo tanto, el vértice de la parábola es:

$$(h, k) = \left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$$

Con esta demostración, esperamos haber aportado a descubrir el origen de las fórmulas del vértice de una parábola. Entender estos principios es fundamental para una comprensión completa del álgebra y el cálculo. 

¡Gracias por tu lectura!

Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.

Swokowski, E. W., & Cole, J. (2009). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica (Décimo Segunda edición). Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.


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