Fórmulas Básicas de Integrales y Derivadas: Tres ejemplos básicos resueltos

¡Hola a todos!

En esta entrada recordamos algunas fórmulas básicas sobre integrales y derivadas necesarias para iniciar en el mundo del cálculo.  A continuación, les presento las fórmulas más importantes y luego resolveremos algunos ejercicios para ponerlas en práctica.

Fórmulas básicas de integrales y derivadas.

Integrales básicas

Integral de una potencia:

    $$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

   

Integral de una función de una variable elevada a la potencia n:

    $$\int v^n dv = \frac{v^{n+1}}{n+1} + C$$

Integral de una función exponencial con base e:

    $$\int e^v dv = e^v + C$$

Integral que da como resultado una función logaritmo natural:

    $$\int \frac{dv}{v} = \ln|v| + C$$

Integral del coseno:

    $$\int \cos v dv = \sin v + C$$

Integral del seno:

    $$\int \sin v dv = -\cos v + C$$

Derivadas básicas

Derivada de una variable elevada a una potencia:

    $$\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$$

Derivada de una exponencial:

    $$\frac{d}{dx} e^v = e^v \frac{dv}{dx}$$

Derivada del coseno:

    $$\frac{d}{dx} \cos v = -\sin v \frac{dv}{dx}$$

Derivada del seno:

    $$\frac{d}{dx} \sin v = \cos v \frac{dv}{dx}$$

Derivada de un logaritmo natural:

    $$\frac{d}{dx} \ln v = \frac{1}{v} \frac{dv}{dx}$$

Solución de los ejercicios sobre integrales

1. Resolver correctamente:

$$\int (3x^2 - 4x + 5) dx$$

Aplicando las reglas de la integral de una suma y la integral de una potencia, tenemos:

$$\int (3x^2 - 4x + 5) dx = \int 3x^2 dx - \int 4x dx + \int 5 dx$$

$$= 3 \int x^2 dx - 4 \int x^1 dx + 5 \int dx$$

$$= 3 \left( \frac{x^{2+1}}{2+1} \right) - 4 \left( \frac{x^{1+1}}{1+1} \right) + 5x + C$$

$$= 3 \left( \frac{x^3}{3} \right) - 4 \left( \frac{x^2}{2} \right) + 5x + C$$

$$= x^3 - 2x^2 + 5x + C$$

2. Resolver correctamente:

$$\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx$$

Podemos reescribir la integral como:

$$\int x(x^2+1)^{-1/2} dx$$

Para resolverla, usamos la sustitución \(u = x^2+1\). Entonces, \( du = 2x dx \), lo que implica que \(x dx = \frac{du}{2}\).

Sustituyendo en la integral, obtenemos:

$$\int u^{-1/2} \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^{-1/2} du$$

$$= \frac{1}{2} \left( \frac{u^{-1/2+1}}{-1/2+1} \right) + C = \frac{1}{2} \left( \frac{u^{1/2}}{1/2} \right) + C$$

$$= \frac{1}{2} (2u^{1/2}) + C = u^{1/2} + C$$

Ahora, sustituimos de nuevo \( u = x^2+1 \):

$$= (x^2+1)^{1/2} + C = \sqrt{x^2+1} + C$$

3. Resolver correctamente:

$$\int \cos(2x+3) dx$$

Aquí usamos la sustitución \(u = 2x+3\). Entonces, \(du = 2 dx \), lo que significa que \(dx = \frac{du}{2}\).

Sustituyendo en la integral:

$$\int \cos(u) \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int \cos(u) du$$

$$= \frac{1}{2} \sin(u) + C$$

Sustituyendo de nuevo $ u = 2x+3 $:

$$= \frac{1}{2} \sin(2x+3) + C$$

4. Resolver correctamente:

$$\int e^{5x} dx$$

Utilizamos la sustitución \(u = 5x\). Por lo tanto, \(du = 5 dx \), y \(dx = \frac{du}{5}\).

Sustituyendo en la integral:

$$\int e^u \frac{du}{5} = \frac{1}{5} \int e^u du$$

$$= \frac{1}{5} e^u + C$$

Sustituyendo de nuevo \(u = 5x \):

$$= \frac{1}{5} e^{5x} + C$$

Espero que esta entrada les sea de gran ayuda para sus estudios. 

¡Hasta pronto!

Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.

Swokowski, E. W., & Cole, J. (2009). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica (Décimo Segunda edición). Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.