Cálculo de Área entre Regiones con Simetría (Ejemplo: $y=x^3$ y $y=x$ )

¡Bienvenidos! 

Una herramienta en el cálculo de áreas es el uso de la simetría de las funciones, lo que nos permite simplificar los límites de integración. En esta entrada aplicaremos este concepto para resolver el siguiente ejercicio.

Ejercicio a Resolver

Calcular el área $A$ de la región acotada por las curvas dadas:

$$y = x^3 \quad \text{y} \quad y = x$$

1. Definición de la Región y Límites de Integración

A. Puntos de Intersección

Para encontrar los límites de la región, igualamos las funciones:

$x^3 = x$ 
$x^3 - x = 0$

Factorizamos $x$:

$$x(x^2 - 1) = 0$$

Las soluciones, y por lo tanto los puntos de intersección, son:

$$x_1 = 0, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = -1$$

Esto define dos regiones acotadas: $R_1$ en el intervalo $[-1, 0]$ y $R_2$ en el intervalo $[0, 1]$.

B. Análisis de Simetría y Funciones Superior/Inferior

Observamos que ambas funciones, $y=x^3$ y $y=x$, son funciones impares y la región total es simétrica respecto al origen. Por lo tanto, el área total $A$ es el doble del área en el primer cuadrante ($R_2$).

$$A = 2 \cdot (\text{Área de } R_2) = 2 \int_{0}^{1} [f(x) - g(x)] dx$$

En el intervalo $[0, 1]$:

  1. Función Superior ($f(x)$): La línea recta $y = x$.

    $$f(x) = x$$

  2. Función Inferior ($g(x)$): La curva $y = x^3$.

    $$g(x) = x^3$$
Figura 1: Representación gráfica de la región $R$ acotada por $y=x^3$ y $y=x$ (creada en GeoGebra).


2. Cálculo del Área

A. Plantear la Integral

Sustituimos las funciones y los límites en la fórmula, aplicando la simetría:

$$A = 2 \int_{0}^{1} (x - x^3) dx$$

B. Integrar

Calculamos la antiderivada de la función:

$$A = 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1}$$

C. Evaluar

Evaluamos la integral definida en los límites:

$$A = 2 \left[ \left( \frac{(1)^2}{2} - \frac{(1)^4}{4} \right) - \left( \frac{(0)^2}{2} - \frac{(0)^4}{4} \right) \right]$$$$A = 2 \left[ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) - 0 \right]$$

Simplificamos la expresión dentro del corchete:

$$A = 2 \left[ \frac{2}{4} - \frac{1}{4} \right]$$$$A = 2 \left[ \frac{1}{4} \right]$$$$A = \frac{2}{4}$$$$A = \frac{1}{2}$$

Conclusión

El área total de la región acotada por $y = x^3$ y $y = x$ en ambos cuadrantes es $\frac{1}{2}$ unidades cuadradas. El uso de la simetría nos permitió evitar calcular la integral de forma separada para la región negativa, simplificando el proceso.

Espero que esta información ayude a tus propósitos de profundizar en las aplicaciones del cálculo integral.

Bibliografía:

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