Despejando la altura de un cono en términos de su volumen y radio

¡Bienvenidos! 

📐 El Arte del Despeje: ¿Cómo encontrar la altura de un cono?

📝 Introducción

En muchas ocasiones, las fórmulas matemáticas vienen expresadas para calcular un resultado específico (como el volumen de un cono). Sin embargo, en la práctica, a veces ya conocemos ese resultado y lo que necesitamos es encontrar una de las variables que lo originaron, en estos casos saber despejar correctamente la variable que necesitamos es importante para determinar su valor correspondiente. 

En esta entrada, aprenderemos a despejar (aislar) la variable de altura ($h$) a partir de la fórmula del volumen de un cono, a través de la solución de un ejercicio clásico adaptado de Swokowski y Cole (2009).

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🧠 El Desafío

Dada la fórmula del volumen de un cono, despeje la variable $h$:

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

Donde:

• $V$: Volumen.

• $r$: Radio de la base.

• $h$: Altura del cono.

• $\pi$: es una constante 

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🛠️ Solución Paso a Paso

Para dejar $h$ completamente sola en un lado de la igualdad, debemos "deshacer" las operaciones que la afectan siguiendo el orden inverso de la jerarquía de operaciones.

Paso 1: Eliminar la fracción

El número $3$ está dividiendo a todo el lado derecho de la ecuación. Para eliminarlo, multiplicamos ambos lados por $3$:

$$3\cdot V = 3\cdot\frac{1}{3} \pi r^2 h$$

$$3V = \pi r^2 h$$

Paso 2: Identificar los factores que multiplican a $h$

En el lado derecho, tanto $\pi$ como $r^2$ están multiplicando a nuestra variable objetivo ($h$).

Paso 3: Aislar la variable $h$

Para pasar $\pi r^2$ al otro lado, aplicamos la operación inversa: la división. Dividimos ambos lados entre el producto $\pi r^2$:

$$\frac{3V}{\pi r^2} = \frac{\pi r^2 h}{\pi r^2}$$

$$\frac{3V}{\pi r^2} = h$$

Paso 4: Reordenar visualmente

Por convención, solemos escribir la variable despejada al lado izquierdo:

$$h = \frac{3V}{\pi r^2}$$

⚠️ Nota: Para que esta fórmula sea válida, debemos asumir que $r > 0$. Esto es fundamental por dos razones:

1. División por cero: Si el radio fuera cero, el denominador de nuestra fracción sería cero, una operación que no está definida en matemáticas.

2. Sentido físico: En geometría, no existen conos con radio cero (sería una línea) ni con radio negativo, por lo que el dominio de nuestra variable $r$ debe ser estrictamente positivo.

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💡 Conclusión

Con este resultado tenemos una fórmula nueva que nos permite calcular directamente la altura de cualquier cono si conocemos su volumen y su radio.

Las formulas matemáticas son herramientas importantes que se pueden manipular algebraicamente y en dependencia de nuestras necesidades. Dominar el despeje de fórmulas es un requerimiento importante que se aplica en áreas como geometría y física.

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📚 Bibliografía

• Swokowski, E. W., & Cole, J. A. (2009). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (12.ª ed.). Cengage Learning.

📐 Mini Test: ¿Dominas el Despeje de una variable?

Pregunta 1 de 5