Una Guía Practica del Cálculo del Plano Tangente y Recta Normal

¡Bienvenidos! 

En el cálculo multivariable, el vector gradiente es la clave para determinar la orientación de una superficie en un punto dado. Este vector nos permite definir el plano tangente (que toca la superficie en ese punto) y la recta normal (que es perpendicular a la superficie).

Ejercicio a Resolver

Hallar una ecuación del plano tangente y hallar ecuaciones simétricas para la recta normal a la superficie en el punto dado:

$$z = x^2 - y^2; \quad (3, 2, 5)$$

1. Definición de la Superficie y el Vector Normal

Para aplicar el concepto de gradiente, debemos reescribir la superficie como una función de nivel $F(x, y, z) = 0$.

$$F(x, y, z) = x^2 - y^2 - z$$

El vector normal ($\mathbf{n}$) a la superficie $F$ en el punto $(x_0, y_0, z_0)$ es el gradiente de $F$ evaluado en ese punto: $\mathbf{n} = \nabla F(x_0, y_0, z_0)$.

A. Cálculo del Gradiente ($\nabla F$)

Calculamos las derivadas parciales de $F$ respecto a $x$, $y$, y $z$:

$$F_x = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 - y^2 - z) = 2x$$$$F_y = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 - y^2 - z) = -2y$$$$F_z = \frac{\partial}{\partial z}(x^2 - y^2 - z) = -1$$

El gradiente es:

$$\nabla F(x, y, z) = \langle 2x, -2y, -1 \rangle$$

B. Vector Normal ($\mathbf{n}$) en $P_0(3, 2, 5)$

Evaluamos el gradiente en el punto $(3, 2, 5)$:

$$\mathbf{n} = \nabla F(3, 2, 5) = \langle 2(3), -2(2), -1 \rangle = \langle 6, -4, -1 \rangle$$

El vector normal a la superficie en el punto $(3, 2, 5)$ es $\mathbf{n} = \langle 6, -4, -1 \rangle$.

2. Ecuación del Plano Tangente

La ecuación del plano tangente con vector normal $\mathbf{n} = \langle a, b, c \rangle$ que pasa por el punto $P_0(x_0, y_0, z_0)$ es:

$$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$$

Sustituimos el punto $(x_0, y_0, z_0) = (3, 2, 5)$ y el vector normal $\langle 6, -4, -1 \rangle$:

$$6(x - 3) + (-4)(y - 2) + (-1)(z - 5) = 0$$

Desarrollamos la ecuación:

$$6x - 18 - 4y + 8 - z + 5 = 0$$

Agrupamos los términos:

$$6x - 4y - z - 5 = 0$$

La ecuación del plano tangente es:

$$6x - 4y - z = 5$$

3. Ecuaciones Simétricas de la Recta Normal

La recta normal pasa por el punto $P_0(3, 2, 5)$ y es paralela al vector normal $\mathbf{n} = \langle 6, -4, -1 \rangle$.

Las ecuaciones simétricas para la recta que pasa por $(x_0, y_0, z_0)$ y tiene vector director $\langle a, b, c \rangle$ son:

$$\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$$

Sustituimos los valores:

$$\frac{x - 3}{6} = \frac{y - 2}{-4} = \frac{z - 5}{-1}$$

Conclusión

Hemos determinado que:

1. La Ecuación del Plano Tangente a la superficie en $(3, 2, 5)$ es $6x - 4y - z = 5$.

2. Las Ecuaciones Simétricas de la Recta Normal en ese punto son $\frac{x - 3}{6} = \frac{y - 2}{-4} = \frac{z - 5}{-1}$.

Este proceso es vital para entender cómo las derivadas parciales definen propiedades geométricas en tres dimensiones.

Bibliografía:

• Colegio Nacional de Matemáticas. (2009). Matemáticas simplificadas (2ª ed.). México: Pearson Educación.