Cálculo de Volumen: Sólido de Revolución con el Método de la Arandela

¡Bienvenidos! 

En esta entrada, exploraremos una aplicación de las integrales definidas: el cálculo del volumen de un sólido generado al rotar una región plana alrededor de un eje. Utilizaremos el Método de la Arandela para resolver un ejemplo clásico.

Ejemplo a Resolver

Utilizar el Método de la Arandela (o Anillos) para calcular el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de las ecuaciones $y = x^2$ y $y = 2x$ alrededor del eje $x$.

1. Definición y Gráfico de la Región

Antes de calcular, necesitamos visualizar la región $R$ y determinar los puntos de intersección.

Realizamos el grafico de las ecuaciones en GeoGebra para visualizar el área de la región que gira alrededor del eje x generando el sólido de revolución,

Figura 1: Representación gráfica de la región $R$ acotada por $y=x^2$ y $y=2x$ (creada en GeoGebra).

A. Puntos de Intersección

Para encontrar los límites de integración, igualamos las dos funciones:

$$x^2 = 2x$$$$x^2 - 2x = 0$$$$x(x - 2) = 0$$

Esto nos da dos puntos de intersección en $x$:

• $x_1 = 0$

• $x_2 = 2$

La región $R$ está acotada entre $x=0$ y $x=2$.

B. Funciones Exterior e Interior

Al girar alrededor del eje $x$, ambas funciones definen el radio de la arandela:

• Función Superior (Radio Exterior, $R(x)$): La recta $y = 2x$ es la curva más alejada del eje de rotación.

  $$R(x) = 2x$$

• Función Inferior (Radio Interior, $r(x)$): La parábola $y = x^2$ es la curva más cercana al eje de rotación.

  $$r(x) = x^2$$

2. El Método de la Arandela (Anillos)

El Método de la Arandela se utiliza cuando el sólido de revolución tiene un hueco o agujero en su centro (es decir, el eje de rotación no toca la región $R$ en todo momento, o el sólido no es macizo).

La fórmula para calcular el volumen $V$ de un sólido de revolución alrededor del eje $x$ es:

$$V = \pi \int_{a}^{b} \left( [R(x)]^2 - [r(x)]^2 \right) dx$$

Donde:

• $R(x)$ es el radio exterior.

• $r(x)$ es el radio interior.

• $[a, b]$ es el intervalo de integración en el eje $x$.

(Colegio Nacional de Matemáticas, 2009).

3. Cálculo del Volumen

A. Plantear la Integral

Sustituimos los límites de integración ($a=0, b=2$) y las funciones de radio en la fórmula:

$$V = \pi \int_{0}^{2} \left( [2x]^2 - [x^2]^2 \right) dx$$$$V = \pi \int_{0}^{2} \left( 4x^2 - x^4 \right) dx$$

B. Integrar

Calculamos la antiderivada de la función:

$$V = \pi \left[ \frac{4x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2}$$

C. Evaluar

Evaluamos la integral en los límites superior (2) e inferior (0):

$$V = \pi \left[ \left( \frac{4(2)^3}{3} - \frac{(2)^5}{5} \right) - \left( \frac{4(0)^3}{3} - \frac{(0)^5}{5} \right) \right]$$$$V = \pi \left[ \left( \frac{4(8)}{3} - \frac{32}{5} \right) - (0) \right]$$$$V = \pi \left[ \frac{32}{3} - \frac{32}{5} \right]$$

Buscamos el común denominador, que es 15:

$$V = \pi \left[ \frac{32 \cdot 5}{15} - \frac{32 \cdot 3}{15} \right]$$$$V = \pi \left[ \frac{160}{15} - \frac{96}{15} \right]$$$$V = \pi \left[ \frac{160 - 96}{15} \right]$$$$V = \frac{64\pi}{15}$$

Conclusión

El volumen del sólido de revolución generado al girar la región acotada por $y=x^2$ y $y=2x$ alrededor del eje $x$ es $\frac{64\pi}{15}$ unidades cúbicas.

Bibliografía:

• Colegio Nacional de Matemáticas. (2009). Matemáticas simplificadas (2ª ed.). México: Pearson Educación.