Integrales Iteradas: Cálculo de Área en Regiones Horizontalmente Simples (Tipo II)

¡Bienvenidos! 

En esta entrada resolveremos un ejercicio de aplicación de las integrales iteradas para determinar el área entre las funciones dadas según describe a continuación la propuesta de nuestro ejemplo.

Ejemplo a resolver: Utilizar una integral iterada para calcular el área de la región limitada o acotada por las gráficas de las ecuaciones  2𝑥 - 3𝑦 = 0; 𝑥 + 𝑦 = 5; 𝑦 = 0. Realizar el gráfico que muestre la región a encontrar. 

Solución:

Realizamos el grafico de las ecuaciones, podemos usar directamente las bondades de GeoGebra para visualizar el área de la región a encontrar.

Figura 1: Grafica de las ecuaciones generadas en GeoGebra. 

Aplicamos la fórmula del área de integrales iteradas. Pero primero recordemos algunos conceptos relacionados con el problema. 

Región Horizontalmente Simple (Tipo II)

Una región $R$ en el plano es horizontalmente simple (a menudo llamada una región de Tipo II) si está limitada o acotada por:

1. Dos constantes $c$ y $d$ en el eje $y$.

2. Dos funciones de $y$, $h_1(y)$ y $h_2(y)$, en el eje $x$.

Definición Formal

La región $R$ se define mediante las desigualdades:

$$c \leq y \leq d$$$$h_1(y) \leq x \leq h_2(y)$$

Donde $h_1$ y $h_2$ son continuas en el intervalo $[c, d]$.

Cálculo del Área

El área $A$ de la región $R$ se calcula mediante la siguiente integral doble, donde el orden de integración es primero respecto a $x$ (con límites que son funciones de $y$) y luego respecto a $y$ (con límites constantes):

$$\text{Área} = \int_{c}^{d} \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} dx \, dy$$

(Larson & Edwards, 2010, p. 996).

Solución del Ejemplo: Área de la Región Acotada

Ecuaciones dadas:

1. $L_1: 2x - 3y = 0 \quad \rightarrow \quad x = \frac{3}{2}y$

2. $L_2: x + y = 5 \quad \rightarrow \quad x = 5 - y$

3. $L_3: y = 0$ (Eje $x$)

1. Encontrar los Puntos de Intersección

Para definir la región $R$, necesitamos los vértices del triángulo formado por las tres líneas:

a) Intersección $L_1$ y $L_2$: Igualamos $x$:

$$\frac{3}{2}y = 5 - y$$

Multiplicamos por 2 para eliminar la fracción:

$$3y = 10 - 2y$$$$5y = 10 \quad \rightarrow \quad y = 2$$

Sustituimos $y=2$ en $L_2$: $x = 5 - 2 = 3$. Punto de Intersección $P_1$: $(3, 2)$

b) Intersección $L_1$ y $L_3$ ($y=0$): Sustituimos $y=0$ en $L_1$: $2x - 3(0) = 0 \quad \rightarrow \quad x = 0$. Punto de Intersección $P_2$: $(0, 0)$ (El origen)

c) Intersección $L_2$ y $L_3$ ($y=0$): Sustituimos $y=0$ en $L_2$: $x + 0 = 5 \quad \rightarrow \quad x = 5$. Punto de Intersección $P_3$: $(5, 0)$

La región $R$ es un triángulo con vértices en $(0, 0)$, $(5, 0)$ y $(3, 2)$.

Podemos verificar que las intersecciones encontradas coinciden perfectamente con la grafica generada en GeoGebra.

2. Definir la Región $R$ (Tipo II)

Como la región es un triángulo que tiene su base sobre el eje $x$ ($y=0$), y el límite superior es $y=2$, el rango de $y$ es constante: $0 \leq y \leq 2$.

Para un valor fijo de $y$ en este intervalo, $x$ varía desde la curva izquierda hasta la curva derecha.

• Límite izquierdo ($h_1(y)$): La recta $L_1 \rightarrow x = \frac{3}{2}y$.

• Límite derecho ($h_2(y)$): La recta $L_2 \rightarrow x = 5 - y$.

Por lo tanto, la región $R$ se define como:

$$R: 0 \leq y \leq 2, \quad \frac{3}{2}y \leq x \leq 5 - y$$

3. Calcular la Integral Iterada

Sustituimos los límites en la fórmula del área:

$$\text{Área} = \int_{0}^{2} \int_{\frac{3}{2}y}^{5 - y} dx \, dy$$

Paso 1: Integrar respecto a $x$

$$\int_{\frac{3}{2}y}^{5 - y} dx = [x]_{\frac{3}{2}y}^{5 - y} = (5 - y) - \left(\frac{3}{2}y\right) = 5 - y - \frac{3}{2}y$$$$\text{Área} = \int_{0}^{2} \left(5 - \frac{5}{2}y\right) dy$$

Paso 2: Integrar respecto a $y$

$$\text{Área} = \left[ 5y - \frac{5}{2} \cdot \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{2}$$$$\text{Área} = \left[ 5y - \frac{5}{4}y^2 \right]_{0}^{2}$$

Paso 3: Evaluar la integral

$$\text{Área} = \left( 5(2) - \frac{5}{4}(2)^2 \right) - \left( 5(0) - \frac{5}{4}(0)^2 \right)$$$$\text{Área} = \left( 10 - \frac{5}{4}(4) \right) - (0)$$$$\text{Área} = 10 - 5$$$$\text{Área} = 5$$

Respuesta:

El área de la región limitada por las gráficas es 5 unidades cuadradas.

Espero que esta entrada te haya sido de utilidad para complementar las aplicaciones de las integrales iteradas.

Bibliografía:

Larson, R., & Edwards, B. H. (2010). Cálculo 2 de varias variables (9ª ed.). McGraw-Hill/Interamericana de España.