Cálculo de Área entre Regiones Planas con Integrales

¡Bienvenidos! 

En esta nueva entrada, nos enfocaremos en una de las aplicaciones más directas y fundamentales de la integral definida: el cálculo del área de una región acotada por dos o más curvas en el plano cartesiano.

Ejercicio a Resolver

Calcular el área $A$ de la región acotada por las curvas dadas:

$$y = x^2 \quad \text{y} \quad y = 4$$

1. Definición de la Región y Límites de Integración

A. Puntos de Intersección

Para determinar los límites de integración ($a$ y $b$), que definen el ancho de la región, igualamos las dos funciones:

$$x^2 = 4$$

Despejamos $x$:

$$x = \pm \sqrt{4}$$$$x = -2 \quad \text{y} \quad x = 2$$

Por lo tanto, los límites de integración son $a = -2$ y $b = 2$.

B. Funciones Superior e Inferior

En el intervalo $[-2, 2]$, debemos identificar qué función es la superior ($f(x)$) y cuál es la inferior ($g(x)$).

  1. Función Superior ($f(x)$): La línea horizontal $y = 4$.

    $$f(x) = 4$$

  2. Función Inferior ($g(x)$): La parábola $y = x^2$.

    $$g(x) = x^2$$

Figura 1: Representación gráfica de la región $R$ acotada por $y=4$ y $y=x^2$ (creada en GeoGebra).


2. La Fórmula del Área entre Curvas

El área $A$ de una región acotada por dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ en el intervalo $[a, b]$, donde $f(x) \geq g(x)$, se calcula mediante la fórmula:

$$A = \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] dx$$

                                                                                        (Colegio Nacional de Matemáticas, 2009).

3. Cálculo del Área

A. Plantear la Integral

Sustituimos los límites y las funciones en la fórmula:

$$A = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx$$

Debido a que la región es simétrica respecto al eje $y$ (la función $4 - x^2$ es par), podemos simplificar el cálculo integrando solo de $0$ a $2$ y multiplicando el resultado por 2:

$$A = 2 \int_{0}^{2} (4 - x^2) dx$$

B. Integrar

Calculamos la antiderivada de la función:

$$A = 2 \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}$$

C. Evaluar

Evaluamos la integral definida en los límites:

$$A = 2 \left[ \left( 4(2) - \frac{(2)^3}{3} \right) - \left( 4(0) - \frac{(0)^3}{3} \right) \right]$$$$A = 2 \left[ 8 - \frac{8}{3} - 0 \right]$$

Para realizar la resta, convertimos 8 a tercios: $8 = \frac{24}{3}$.

$$A = 2 \left[ \frac{24}{3} - \frac{8}{3} \right]$$$$A = 2 \left[ \frac{16}{3} \right]$$$$A = \frac{32}{3}$$

Conclusión

El área de la región acotada por la parábola $y = x^2$ y la línea horizontal $y = 4$ es $\frac{32}{3}$ (aproximadamente $10.67$) unidades cuadradas. Este ejercicio demuestra cómo el cálculo nos permite medir el área de formas irregulares definidas por funciones.


Espero que la información compartida haya sido de utilidad en tus estudios sobre las aplicaciones del cálculo integral.

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