Maximizando el área de un rectángulo con perímetro fijo


 

Problema: Considere la formación de un rectángulo de área máxima con un trozo de alambre de L pulgadas de longitud. ¿Cuál será el mejor ancho y altura del rectángulo?


Solución: dado un trozo de alambre de longitud fija (perímetro). ¿Cómo podemos doblarlo para formar un rectángulo con la mayor área posible?


Para resolver este problema podemos aplicar una forma analítica siguiendo los siguientes pasos:

Paso 1: Definir el problema: Queremos encontrar las dimensiones (largo y ancho) de un rectángulo que maximicen su área, dado que su perímetro es fijo.

Paso 2: Declaramos las variables:
sea   x el largo del rectángulo
        y el ancho del rectángulo
        p es el perímetro del rectángulo y que además lo consideramos constante. 

Paso 3: Recordamos las fórmulas:

Perímetro de un rectángulo: 

 \[perímetro=2(largo + ancho\]

Área de un rectángulo: \[A = largo * ancho\]

Para nuestro caso tendremos 

 \[p=2(x + y)\]

 \[A=x*y\]

Paso 4: Expresar el área en función de una sola variable:  
  • Dado que el perímetro es fijo, podemos despejar una variable (por ejemplo, el ancho) de la fórmula del perímetro y sustituirla en la fórmula del área. Esto nos permitirá expresar el área como una función de una sola variable (en este caso, el largo).

De \[p=2(x + y)\] despejamos y

\[\frac{p}{2}=x + y\]

\[y=\frac{p}{2}-x\]

Sustituimos y en la formula del área

\[A=x(\frac{p}{2}-x)\]

Realizamos las operaciones indicadas y obtenemos

\[A=\frac{p}{2}*x-x^2\]

Así obtenemos el área en términos del ancho x.

  • Encontrar el máximo de la función: Una vez que tenemos el área expresada como una función de una sola variable, podemos usar técnicas de cálculo (como derivadas) para encontrar el valor de la variable que maximiza la función. En este caso particular, al tratarse de una función cuadrática, el máximo se encontrará en el vértice de la parábola.

Paso 5: Aplicamos el criterio de la segunda derivada para maximizar el área.

Derivamos el área con respecto a x para obtener los números críticos 
\[\frac{dA}{dx}=\frac{d(\frac{p}{2}*x-x^2)}{dx}\]

\[\frac{dA}{dx}=\frac{p}{2}-2x\]

La derivada del área la igualamos a cero

\[\frac{dA}{dx}=0\]

\[\frac{p}{2}-2x=0\]

Despejamos x
\[\frac{p}{2}=2x\]

\[\frac{p}{4}=x\]

El número critico es \[x=\frac{p}{4}\]

Para saber si este número corresponde a un máximo o un mínimo de la función aplicamos el criterio de la segunda derivada.

\[\frac{dA}{dx}=\frac{p}{2}-2x\]

\[A''=-2x\]

Evaluamos el número critico en la segunda derivada 

\[A''(\frac{p}{4})=-\frac{p}{2}\]

Como la segunda derivada evaluada en el número critico es menor que cero o negativa, concluimos que en \[x=\frac{p}{4}\] hay un máximo relativo de la función.

Para saber el ancho sustituimos el valor de x en la ecuación correspondiente \[y=\frac{p}{2}-x\]

Para obtener 

\[y=\frac{p}{2}-\frac{p}{4}\]

\[y=\frac{p}{4}\]


Podemos  concluir que tanto el largo x, como el ancho y, deben tener una longitud de \[x=y=\frac{p}{4}\]

 Por ejemplo si tenemos un alambre de longitud 20 cm, o bien que el rectángulo tenga un perímetro de 20 cm. La el área máxima se logra cuando \[x=y=\frac{p}{4}\]
\[x=y=\frac{20}{4}\]
\[x=y=5 \ \text{cm}\]

Método numérico para maximizar el área de un rectángulo:

Paso 1: Discretizar el problema:

En lugar de considerar todas las posibles dimensiones del rectángulo, podemos discretizar el problema. Esto significa dividir el rango de posibles valores para la longitud (x) en un número finito de intervalos.

Por ejemplo, si el perímetro es 20 cm, podríamos considerar valores de x desde 0.1 cm hasta 9.9 cm, con incrementos de 0.1 cm.

Paso 2: Calcular el área para cada valor de x:

Para cada valor de x, calculamos el valor correspondiente de y usando la ecuación del perímetro \[y=p2−x\]

Luego, calculamos el área \[A=x∗y\].

Identificar el valor de x que maximiza el área:

De la lista de áreas calculadas, seleccionamos el valor máximo. El valor de x correspondiente a este valor máximo será la longitud del rectángulo que maximiza el área.

Para lograr esto puedes probar este código de payton 

import numpy as np

# Definir el perímetro
perimetro = 20

# Discretizar el rango de valores para x
x_valores = np.arange(0.1, 10, 0.1)

# Calcular el área para cada valor de x
areas = []
for x in x_valores:
    y = (perimetro / 2) - x
    area = x * y
    areas.append(area)

# Encontrar el índice del valor máximo
indice_maximo = np.argmax(areas)

# Obtener el valor de x que maximiza el área
x_optimo = x_valores[indice_maximo]

print("El valor de x que maximiza el área es:", x_optimo)




Bibliografía:

Hamdy A Taha (Ed.). (2004). Investigación de operaciones (Séptima edición). Pearson.

Gemini. "Código para calcular el área de un rectángulo." *Google Colaboratory*, 26 de octubre de 2023,

https://colab.research.google.com/drive/1234567890abcdef, [Código Python: ...].






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