Ecuación diferencial de segundo orden por separación de variables y condiciones iniciales.

Resolver la ecuación diferencial dada con las condiciones iniciales establecidas:

\[y'' = 2, \quad y(-2) = 4, \quad y'(0) = 1\]

Solución:

Reescribimos la ecuación diferencial:

\[y'' = 2\]

\[\frac{d^2 y}{dx^2} = 2\]

 Reescribimos nuevamente a conveniencia de la siguiente manera:

\[\frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right) = 2\]

Separamos variables e integramos una vez

\[d \left( \frac{dy}{dx} \right) = 2dx\]

\[\int d\left(\frac{dy}{dx}\right) = \int 2dx\]

\[\frac{dy}{dx} + C_1 = 2x+C_2\]

\[\frac{dy}{dx} = 2x + C_3\] donde \( C_3=C_2-C_1\) 

Integrando nuevamente para obtener la solución general:

\[\int dy = \int (2x + C_3)dx\]

\[y + C_4 = \frac{2x^2}{2} + C_3 x + C_5\]

\[y = x^2 + C_3 x + C_5 - C_4\]

Definiendo \( C_6 = C_5 - C_4 \), tenemos:

\[y = x^2 + C_3 x + C_6\]

Aplicamos las condiciones iniciales

1. Usamos \( y(-2) = 4 \):
\[y(-2) = (-2)^2 + C_3(-2) + C_6\]

\[4 = 4 - 2C_3 + C_6\]

\[-2C_3 + C_6 = 0 \quad \text{(Ecuación 1)}\]

2. Usamos \( y'(0) = 1 \):

\[\frac{dy}{dx} = 2x + C_3\]

\[1 = 2(0) + C_3\]

\[C_3 = 1\]

Sustituyendo \( C_3 = 1 \) en la ecuación 1:

\[-2(1) + C_6 = 0\]

\[C_6 = 2\]

Sustituimos los valores de \(C_3=1 \quad y \quad C_6 = 2 \) en la solución general para obtener la solución particular:

\[y(x) = x^2 + x + 2\]

Concluimos que:

La solución de la ecuación diferencial dada con las condiciones iniciales especificadas es:

\[y(x) = x^2 + x + 2\]


Bibliografía:

  • Bibliografía:

    D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.

    I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.
  • Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.


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