Método de Separación de variables: Solución de un ejercicio sencillo de ecuaciones diferenciales


 ¿Qué son las ecuaciones diferenciales separables? 

Las ecuaciones diferenciales involucra números y variables, también indican cómo esas variables cambian unas respecto a las otras. 

¿A qué le llamamos que una ecuación diferencial sea "separable"?

Una ecuación diferencial separable es aquella que podemos reescribir de manera que todas las "y" (y sus derivadas) estén en un lado del signo igual, y todas las "x" (y sus diferenciales) estén en el otro. Es decir las "y" a un lado y las "x" al otro acompañadas de sus respectivos diferenciales.

Matemáticamente: M(x)dx =N(y)dy

Donde M(x) es una función en términos de x. 

N(y) es una función en términos de y. 

Una vez que la ecuación ha sido escrita de forma separada su solución se puede obtener por integración directa.

¿Por qué es importante conocer este método de variables separables para resolver ecuaciones diferenciales?

Es importante porque las ecuaciones diferenciales tienen un campo amplio de aplicaciones por ejemplo en el crecimiento poblacional, el decaimiento radiactivo, la ley de enfriamiento de Newton o en problemas de las ingenierías.

¿Se puede usar este método para todas las ecuaciones diferenciales?

No todas las ecuaciones diferenciales se pueden resolver por separación de variables. Existen ecuaciones diferenciales que no admiten la separación de variables. Hay otros métodos, como los factores integrantes, que se utilizan para resolver ecuaciones más complejas.

Veamos el siguiente ejemplo.

Resuelve la siguiente ecuación diferencial \(y'=4x-6\)

Solución:

Paso 1: Reescribimos la ecuación para obtener variables separables de la siguiente manera 

\(\frac{dy}{dx}=4x-6\)

Multiplicamos la ecuación por dx

\(\frac{dy}{dx}dx=(4x-6)dx\)

Simplificamos y obtenemos así variables separables.

\(dy=(4x-6)dx\)

Paso 2: Integramos a ambos lados 

\(\int(dy) = \int(4x-6)dx\)

Aplicamos las reglas de integración.

\(\int(dy) = \int(4x)dx- \int(6)dx\)

\(\int(dy) = 4 \int(x)dx- 6\int(dx)\)

\(y = 4 \frac{x^2}{2} - 6x + c\)

\(y = 2 x^2 - 6x + c\)

Concluimos que la solución general de la ecuación diferencial \(y'=4x-6\) es \(y = 2 x^2 - 6x + c\) observa que si realizas la derivada de "y" obtienes la ecuación diferencial propuesta a resolver.


Ejercicios:

  1. Resuelve la siguiente ecuación diferencial: \(\frac{dy}{dx} = x^2y\)
  2. Resuelve la siguiente ecuación diferencial con la condición inicial \(y(0) = 2\): \(\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}\)
  3. Resuelve la siguiente ecuación diferencial: \(\frac{dy}{dx} =\frac{ e^x }{ y^2}\)


Bibliografía:

D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.

I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.




















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