Solución de una ecuación diferencial por el método de variables separables y con condiciones iniciales.

Resuelve la siguiente ecuación diferencial con las condiciones iniciales dadas:

$$y'-4xy=0, \quad y(0)=\frac{1}{5}$$

Solución: recordemos que un problema con valores iniciales o condiciones iniciales es la ecuación diferencial acompañada de condiciones iniciales. Veamos paso a paso la solución de nuestro ejercicio.

1. Reescribimos la ecuación diferencial:

$$\frac{dy}{dx} - 4xy = 0$$

2. Separamos variables:

   $$\frac{dy}{dx} = 4xy$$

   $$\frac{dy}{y} = 4x \, dx$$

3. Integramos a ambos lados y obtenemos la solución general implícita:

   $$\int \frac{dy}{y} = \int 4x \, dx$$

   $$\ln|y| = 2x^2 + C_1$$

4. Despejamos  y para obtener la solución general explicita, aplicamos \(e\), a ambos lados de la ecuación:

    $$e^{\ln|y|} =e^{ 2x^2 + C_1}$$

   $$y = e^{2x^2 + C_1}$$

   $$y = e^{2x^2} \cdot e^{C_1}$$

   $$y = Ce^{2x^2} \quad (\text{donde } C = e^{C_1})$$

5. Aplicamos la condición inicial \(y(0) = \frac{1}{5}\):

   $$\frac{1}{5} = Ce^{2 \cdot (0)^2}$$

   $$\frac{1}{5} = C$$

   $$C=\frac{1}{5}$$

6. Solución final: sustituimos C en la función explicita.

   $$y = \frac{1}{5}e^{2x^2}$$

Comprobación:

1. Derivamos la solución final: recuerde que  $$\frac{de^u}{dx} =e^u\frac{du}{dx}$$

   $$y' = \frac{1}{5} \cdot 4x \cdot e^{2x^2}$$

   $$y' = \frac{4x}{5}e^{2x^2}$$

2. Sustituimos y e y' en la ecuación original:

   $$\frac{4x}{5}e^{2x^2} - 4x \cdot \frac{1}{5}e^{2x^2} = 0$$

   $$0 = 0$$

Conclusión:

La solución de la ecuación diferencial \(y' - 4xy = 0\) con la condición inicial \(y(0) = \frac{1}{5}\) es \(y = \frac{1}{5}e^{2x^2}\).

Ejercicio: Resuelve $$y' + 2xy = 0, y(0) = 3$$

Respuesta: $$y = 3e^{-x²}$$

Bibliografía:

D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.

I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.