¿Qué es una familia de curvas?
¿Qué es una familia de curvas?
Es un conjunto infinito de curvas que comparten una característica común. Esta característica suele ser una ecuación diferencial que todas las curvas satisfacen. En otras palabras, si tomas cualquier curva de esa familia y la sustituyes en la ecuación diferencial, la igualdad se cumple.
¿Qué relación tienen las familias de curvas con las ecuaciones diferenciales?
Cuando resolvemos una ecuación diferencial, lo que obtenemos es una solución general. Esta solución general suele contener una o más constantes arbitrarias. Cada valor que le asignamos a estas constantes nos da una curva diferente, pero todas ellas satisfacen la misma ecuación diferencial. Por lo tanto, el conjunto de todas estas curvas forma una familia de curvas.
Interpretación geométrica de la familia de curvas
Cada curva de la familia representa una posible solución a un problema físico o matemático modelado por la ecuación diferencial. La constante arbitraria suele representar una condición inicial o un parámetro que varía de un caso a otro.
Graficar una familia de curvas haciendo uso de Matlab
Este código de Matlab te puede servir de guía para representar gráficamente cualquier familia de curvas, modificándolo según la función que represente una solución de alguno ecuación diferencial en particular.
% Gráfica de una familia de curvas
% y = c*x^2
% Dominio de x (puedes ajustarlo según la función a graficar)
x = -3:0.01:3;
% Valores de c a evaluar (puedes modificar este vector dependiendo de cuantas curvas desees graficar)
valores_c = [ 1, 2, 3];
% Código para crear una grafica que representa una familia de curvas.
figure;
hold on; % congela el grafico para que sobre el mismo se dibujen todas las curvas
grid on; % activa las rejillas de la grafica
xlabel('Eje x'); % etiqueta el eje x
ylabel('Eje y'); % etiqueta el eje y
title('Familia de curvas: y = c*x^2'); % escribe el titulo del grafico
% Graficar cada curva para los diferentes valores de c
for c = valores_c
y = c * x.^2;
plot(x, y); % comoando plot sirve para generar el grafico.
end
% Agregar leyenda para identificar cada curva
legend( 'c = 1', 'c = 2', 'c=3');
Actividad 1: Genera la familias de curvas para los valores de c indicados de cada una de las siguientes funciones.
Me he encontrado estos recursos en la web que te pueden ayudar a comprender la interpretación geométrica de la familia de curvas.
Bibliografía:
D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.
I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.
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