Cálculo Diferencial e Integral: Derivadas, Integrales y Ecuaciones Diferenciales por separación de variables

En esta publicación explicamos paso a paso la solución de tres ejercicios que abordan temas fundamentales del cálculo: derivadas, integración y ecuaciones diferenciales por separación de variables. Espero que les sirva para practicar y fortalecer sus habilidades matemáticas importantes para los estudiantes de ingenierías y ciencias ya que se aplican en áreas como la física y la modelización matemática.

1. Derivar la función dada.

Sea:
\[f(x) = \sin(2x) e^x\]

Aplicamos la derivada del producto:

\[\frac{d}{dx} (f \cdot g) = f' \cdot g + g' \cdot f\]

Derivamos:

\[f'(x) = \sin(2x) (e^x)' + e^x (\sin(2x))'\]

Sabemos por los teoremas de derivadas que:

\[(e^x)' = e^x, \quad (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot 2\]

Entonces:

\[f'(x) = \sin(2x) e^x + e^x \cdot 2 \cos(2x)\]

Factorizando la solución final:

\[f'(x) = e^x (\sin(2x) + 2 \cos(2x))\]


2. Resuelve la integral:

\[\int \left( x^{1/2} + \frac{2}{x} \right) dx\]

Descomponemos en dos integrales de acuerdo los teoremas:

\[\int x^{1/2} dx + 2 \int \frac{1}{x} dx\]

Resolviendo obtenemos:

\[\frac{x^{3/2}}{3/2} + 2 \ln x + C\]

Simplificamos para obtener el :

\[\frac{2}{3} x^{3/2} + 2 \ln x + C\]


3. Resolución de una ecuación diferencial por separación de variables.

Dada la ecuación diferencial:

\[\frac{dy}{dx} + 2x y^2 = 0\]

Paso 1: Separación de variables

Reordenamos la ecuación para expresar las variables \( x \) e \( y \) separadas:

\[\frac{dy}{dx} = -2x y^2\]

Reescribimos en la forma:

\[\frac{dy}{y^2} = -2x dx\]

Paso 2: Integración

Calculamos la integral de ambos lados:

\[\int \frac{dy}{y^2} = \int -2x dx\]

Recordamos que:

\[\int y^{-2} dy = \frac{-1}{y}, \quad \int -2x dx = -x^2\]

Aplicando la integración:

\[\frac{-1}{y} = -x^2 + C\]

Paso 3: Despejamos \( y \)

Multiplicamos por \(-1\):

\[\frac{1}{y} = x^2 - C\]

Finalmente, despejamos \( y \):

\[y = \frac{1}{x^2 - C}\]

Donde \( C \) es una constante de integración.

Comprobación de la solución

Dada la solución:

\[y = \frac{1}{x^2 - C}\]

Calculamos la derivada:

\[\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( (x^2 - C)^{-1} \right)\]

Usamos la regla de la derivada de una potencia:

\[\frac{dy}{dx} = - (x^2 - C)^{-2} \cdot (2x)\]

\[\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{(x^2 - C)^2}\]

Ahora verificamos en la ecuación original:

\[\frac{-2x}{(x^2 - C)^2} + 2x \left( \frac{1}{x^2 - C} \right)^2 = 0\]

\[\frac{-2x}{(x^2 - C)^2} + \frac{2x}{(x^2 - C)^2} = 0\]

\[0 = 0\]

Por lo que la ecuación se cumple, confirmando que la solución es correcta porque la ecuación diferencial se satisface.

En esta entrada hemos aplicado técnicas clave del cálculo diferencial e integral para resolver derivadas, integrales y ecuaciones diferenciales. Estas herramientas son fundamentales en muchas aplicaciones matemáticas y científicas.

Bibliografía:

Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.
D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.

I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.

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