Ley de enfriamiento de Newton: Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales

En el mundo real, la temperatura de un objeto no cambia instantáneamente, sino que sigue un patrón predecible descrito por la Ley de Enfriamiento de Newton. Esta ley establece que "la velocidad a la que un cuerpo se enfría es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio ambiente".

En esta entrada, explicamos paso a paso la solución un problema modelo de enfriamiento: ¿Cuánto tiempo tarda una sustancia caliente en alcanzar una temperatura específica cuando se encuentra en un entorno más frío? 

Problema: Según la ley de Enfriamiento de Newton, la velocidad a la que se enfría una sustancia al aire libre es proporcional a la diferencia de temperaturas de la sustancia y del aire. Si la temperatura del aire es 28° y la sustancia se enfría de 100° a 80° en 12 minutos, ¿en qué

momento estará a una temperatura de 50 grados?

Solución: Planteamiento del Problema

Según la Ley de Enfriamiento de Newton, la velocidad de enfriamiento de un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la temperatura del ambiente. Matemáticamente, esto se expresa como:

\[\frac{dT}{dt} = k(T - T_a)\]

donde:

    \( T \) es la temperatura del objeto en el tiempo \( t \).

   \( T_a = 28^\circ C \) es la temperatura del ambiente.

   \( k \) es una constante de proporcionalidad.

Se sabe que la sustancia se enfría de \( 100^\circ C \) a \( 80^\circ C \) en \( 12 \) minutos. Queremos determinar el tiempo en el que la sustancia alcanzará los \( 50^\circ C \).

Solución:

Reescribimos la ecuación diferencial:

\[\frac{dT}{dt} = k(T - 28)\]

Separando variables:

\[\frac{dT}{T - 28} = k \, dt\]

Integrando en ambos lados:

\[\int \frac{dT}{T - 28} = \int k \, dt\]

\[\ln |T - 28| = kt + C\]

Donde \( C \) es la constante de integración. Expresamos la solución general:

\[T - 28 = Ce^{kt}\]

\[T = Ce^{kt} + 28\]

Determinación de \( C \) y \( k \)}

Usamos la condición inicial \( T(0) = 100 \):

\[100 = C e^{0} + 28\]

\[C = 72\]

Por lo tanto, la ecuación se convierte en:

\[T = 72e^{kt} + 28\]

Ahora usamos \( T(12) = 80 \) para hallar \( k \):

\[80 = 72 e^{12k} + 28\]

\[80 - 28 = 72 e^{12k}\]

\[\frac{52}{72} = e^{12k}\]

\[\frac{13}{18} = e^{12k}\]

Aplicamos logaritmo natural:

\[\ln \left(\frac{13}{18}\right) = 12k\]

\[k = \frac{\ln(13/18)}{12} \approx -0.0271\]

Cálculo del tiempo cuando \( T = 50 \)

\[50 = 72 e^{-0.0271 t} + 28\]

\[50 - 28 = 72 e^{-0.0271 t}\]

\[\frac{22}{72} = e^{-0.0271 t}\]

\[\frac{11}{36} = e^{-0.0271 t}\]

Aplicamos logaritmo natural:

\[\ln \left(\frac{11}{36}\right) = -0.0271 t\]

\[t = \frac{\ln(11/36)}{-0.0271}\]

\[t \approx 43.7 \text{ minutos}\]

Conclusión:

La sustancia alcanzará una temperatura de \( 50^\circ C \) aproximadamente a los  \(\textbf{43.7 minutos}\).

Bibliografía:

Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.

D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.

I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.