Solución de una Ecuación Diferencial Homogénea: Ejercicio 3

Dada la ecuación diferencial:

\[x y' = y - x\]

Reescribimos la ecuación a forma Diferencial de acuerdo a la definición de una ecuación diferencial homogénea.

\[M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0\]

Verificamos si la ecuación es homogénea reescribiéndola

\[x \frac{dy}{dx} = y - x\]

Multiplicamos por \(dx\):

\[x dy = (y - x) dx\]

Reordenando:

\[(y - x) dx - x dy = 0\]

donde:

\[M(x,y) = y - x, \quad N(x,y) = -x\]

Evaluamos \((x,y\)) por  \((tx,ty\))

\[M(tx,ty) = ty - tx=t(y-x)=tM(x,y)\]

\[N(tx,ty) = -tx=t(-x)=tN(x,y)\]

Ambas funciones \[M(x,y) , \quad N(x,y) \] son homogéneas de grado 1

Para resolver la ecuación diferencial homogénea, usamos la sustitución:

\[y = v x \Rightarrow dy = v dx + x dv\]

Sustituyendo en la ecuación:

\[(vx - x) dx - x (v dx + x dv) = 0\]

Realizamos las operaciones indicadas

\[vxdx - xdx - vxdx - x^2dv= 0\]

Reducimos términos semejantes

\[- xdx  - x^2dv = 0\]

Multiplicamos por \(-1\)

\[ xdx  + x^2dv = 0\]

Dividiendo entre \( x^2 \) obtenemos:

\[\frac{dx}{x} + dv = 0\]

Obtenemos variables separadas e integramos todos los términos de la ecuación:

\[\int \frac{dx}{x} + \int dv = 0\]

\[\ln |x| + v = C\]

Despejamos \( v \):

\[v = C - \ln |x|\]

Despejamos \( y \):

\[y = x (C - \ln |x|)\]

Comprobación

Derivamos \( y \):

\[y' = x (C - \ln |x|)' + (C - \ln |x|) (x)'\]

Calculamos:

\[y' = x(0 - \frac{1}{x}) + (C - \ln |x|)\]

\[y' = -1 + C - \ln |x|\]

Sustituyendo en la ecuación diferencial original:

\[x y' = y - x\]

se verifica la solución.

\[x (-1 + C - \ln |x|) = x (C - \ln |x|) - x\]

\[-x + Cx - x\ln |x|) = Cx - x\ln |x|) - x\]

Se cumple la igualdad, ordenado los términos 

\[-x + Cx - x\ln |x| =-x + Cx - x\ln |x| \]