Ejercicio 2: Solución de una ecuación diferencial con condiciones iniciales


Ejercicio 2: Solución de una ecuación diferencial con condiciones iniciales

Determinemos la solución particular de la ecuación diferencial:

\[y' = \frac{6x - 12}{x^2}\]

con la condición inicial:

\[y(1) = 20\]

Solución:

Reescribimos la ecuación en términos diferenciales:

\[\frac{dy}{dx} = \frac{6x - 12}{x^2}\]


Multiplicamos por \(dx\) para separar variables:

\[dy = \left( \frac{6x - 12}{x^2} \right)dx\]


Integramos a ambos lados y descomponemos la fracción porque el denominador es un monomio que después se pueden simplificar:

\[\int dy = \int \frac{6x}{x^2}dx - \int \frac{12}{x^2}dx\]


Simplificamos:

\[\int dy = 6\int \frac{1}{x}dx - 12\int x^{-2}dx\]


Realizamos la integración:

\[y + C_1 = 6 \ln |x| + C_2 - 12 \frac{x^{-1}}{-1} + C_3\]


Simplificamos y despejamos y para obtener la solución general explicita:

\[y = 6 \ln |x| + \frac{12}{x} + C\]


Aplicación de la condición inicial sustituyendo \( y(1) = 20 \) en la solución general explicita y poder despejar C:


\[20 = 6 \ln |1| + \frac{12}{1} + C\]


Como \( \ln(1) = 0 \), tenemos:

\[20 = 0 + 12 + C\]


\[C = 8\]


Sustituimos \( C = 8 \) para obtener la Solución particular:

\[y = 6 \ln |x| + \frac{12}{x} + 8\]


Respuesta final

La solución particular de la ecuación diferencial con la condición inicial dada es:

\[y(x) = 6 \ln |x| + \frac{12}{x} + 8\]


Bibliografía:

D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.

I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.


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