Resolución de una ecuación diferencial no homogénea mediante sustitución

Verificar si la ecuación diferencial es homogénea y si lo es resolverla por el método de las homogéneas:

\((x-y)dx + (x-y+1)dy = 0\)

1. Identificar la ecuación como homogénea:

Observamos que la ecuación es de la forma:

\( M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0\), donde \(M(x,y) = x-y \quad y \quad N(x,y) = x-y+1\). 

Vemos que \(M(tx,ty) = tx - ty = t(x-y) = tM(x,y)\)  y  \(N(tx,ty) = tx - ty + 1\), que no es igual a \(tN(x,y)\), por lo tanto no es homogénea.

Sin embargo, podemos hacer una sustitución para convertirla en homogénea.

2. Realizamos la sustitución:

Sea \(v = x - y\). Entonces, \(y = x - v\), y \(dy = dx - dv\). Sustituimos estas expresiones en la ecuación original:

\((x - (x-v))dx + (x - (x-v) + 1)(dx - dv) = 0\)

\(vdx + (v+1)(dx - dv) = 0\)

\(vdx + (v+1)dx - (v+1)dv = 0\)

\((2v+1)dx - (v+1)dv = 0\)

3. Separamos variables:

\(\frac{dx}{dv} = \frac{v+1}{2v+1}\)

4. Integramos a ambos lados:

\(\int dx = \int \frac{v+1}{2v+1} dv\)

Para resolver la integral del lado derecho, podemos usar la técnica de división larga o fracciones parciales:

\(\frac{v+1}{2v+1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2(2v+1)}\)

Entonces, la integral se convierte en:

\(x = \int \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2(2v+1)} \right) dv\)

\(x = \frac{1}{2}v + \frac{1}{4}\ln|2v+1| + C\)

5. Sustituimos la variable original:

Recordamos que \(v = x - y\). Sustituimos esta expresión en la solución:

\(x = \frac{1}{2}(x-y) + \frac{1}{4}\ln|2(x-y)+1| + C\)

6. Simplificamos la solución (opcional):

Multiplicamos por 4 para eliminar denominadores:

\(4x = 2(x-y) + \ln|2x-2y+1| + 4C\)

\(2x + 2y - \ln|2x-2y+1| = C'\)

donde \(C' = -4C\) es una nueva constante.

Bibliografía:

Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.

D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.

I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.