Ley de enfriamiento de Newton: Problema de enfriamiento de la leche.

Problema de enfriamiento de la leche.

Un vaso con leche caliente a \(85^\circ\)C comienza a enfriarse. Tras 12 minutos, su temperatura baja a \(55^\circ\)C en un ambiente con una temperatura constante de \(28^\circ\)C. Calcular el tiempo necesario para que la leche alcance las siguientes temperaturas:

  1.        \(75^\circ\)C
  2.         \(65^\circ\)C
  3.         \(45^\circ\)C
  4.         \(30^\circ\)C
  5. Determinar cuándo la leche alcanzará la temperatura ambiente.
  6. Representar la temperatura de la leche en función del tiempo con una gráfica.
Solución:

Sea \(T(t)\) la temperatura de la leche en el instante \(t\), donde \(t\) se mide en minutos. La ley de enfriamiento de Newton establece que la rapidez de cambio de la temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre su propia temperatura y la temperatura ambiente. En este caso, la ecuación diferencial que modela el enfriamiento de la leche es:

\[ \frac{dT}{dt} = k(T - 28) \]

donde \(k\) es una constante de proporcionalidad.

Paso 1: Resolvemos la ecuación diferencial por separación de variables y obtenemos:

\[ \frac{dT}{T - 28} = k \, dt \]

Integramos ambos lados:

\[ \int \frac{dT}{T - 28} = \int k \, dt \]

\[ \ln|T - 28| = kt + C \]

donde \(C\) es la constante de integración. Aplicamos e a ambos lados para despejar \(T\):

\[ T - 28 = e^{kt + C} = e^C e^{kt} \]

\[ T(t) = 28 + Ae^{kt} \]

donde \(A = e^C\) es una nueva constante.

Paso 2: Determinar las constantes \(A\) y \(k\)

Utilizamos las condiciones iniciales para encontrar \(A\) y \(k\).

    Condición inicial 1: \(T(0) = 85^\circ\)C
    \[ 85 = 28 + Ae^{k(0)} \]
    \[ A = 57 \]
    Condición inicial 2: \(T(12) = 55^\circ\)C
    \[ 55 = 28 + 57e^{12k} \]
    \[ k = \frac{1}{12} \ln \left( \frac{27}{57} \right) \approx -0.0623 \]


Por lo tanto, la función de temperatura es:

\[ T(t) = 57e^{-0.0623t}+28 \]

Paso 3: Calcular los tiempos para las temperaturas dadas

Despejamos \(t\) en la ecuación de temperatura:

\[ t = \frac{1}{-0.0623} \ln \left( \frac{T - 28}{57} \right) \]

Sustituimos los valores de temperatura para obtener los tiempos:

   \(T = 75^\circ C: t \approx 3.09 \)minutos
    \(T = 65^\circ C: t \approx 6.9\) minutos
    \(T = 45^\circ C: t \approx 19.4\) minutos
    \(T = 30^\circ C:  t \approx 53.7\) minutos

Paso 4: Determinar cuándo la leche alcanza la temperatura ambiente

La leche alcanza la temperatura ambiente cuando \(T(t) = 28^\circ C\). Sin embargo, la función exponencial nunca alcanza el valor 28 grados, por lo que teóricamente la leche nunca alcanzará la temperatura ambiente. No obstante, podemos calcular el tiempo límite cuando $t$ tiende a infinito:

\[ \lim_{t \to \infty} T(t) = 28^\circ C \]

Paso 5: Gráfica de la temperatura en función del tiempo

La gráfica de la temperatura de la leche en función del tiempo se muestra a continuación:




La leche tarda aproximadamente 3.09, 6.9, 19.4 y 53.7 minutos en alcanzar las temperaturas de 75°C, 65°C, 45°C y 30°C, respectivamente. La leche teóricamente nunca alcanzará la temperatura ambiente de 28°C, pero se acercará a ella a medida que el tiempo transcurra.


Bibliografía:

Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.
D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.

I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.

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