Solución de una ecuación diferencial homogénea: ejercicio 2


En esta entrada explicamos paso a paso la solución de una ecuación diferencial homogénea.  Comenzaremos por definir qué es una ecuación homogénea y cómo identificarla. Luego, te mostraré la técnica de sustitución (y = vx) y cómo aplicarla para transformar la ecuación original en una ecuación separable. Una vez que hayamos separado las variables, podremos integrar ambos lados de la ecuación para obtener la solución general. Finalmente, si se dan condiciones iniciales, podremos encontrar la solución particular que satisface esas condiciones.

A través de este ejemplo, aprenderás a:
  1. Verificar si una ecuación diferencial es homogénea.
  2. Aplicar la sustitución \(y = vx\) y \(dy = vdx + xdv\).
  3. Separar las variables de la ecuación transformada.
  4. Integrar ambos lados de la ecuación.
  5. Obtener la solución general y, si es posible, la solución particular.

Definición:

Una ecuación diferencial de la forma:  M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, se dice que es homogénea si las funciones M(x, y) y N(x, y) son funciones homogéneas del mismo grado.

¿Qué significa que una función sea homogénea?

Una función f(x, y) se dice que es homogénea de grado n si cumple la siguiente propiedad: 

\(f(tx, ty) = t^n f(x, y)\)


Ejemplo: Verificar si la ecuación diferencial: \((xy + y^2 + x^2)dx - x^2dy = 0\), es homogénea.

Solución:

Identificamos las funciones:

    \(M(x,y) = xy + y^2 + x^2 \)
    \(N(x,y) = -x^2\)

Para verificar que ambas son homogéneas:

Evaluamos M y N por (tx,ty):

    \(M(tx,ty) = (tx)(ty) + (ty)^2 + (tx)^2 \)
           \(  = t^2xy + t^2y^2 + t^2x^2 \)
           \(  = t^2 (xy + y^2 + x^2)\)

    \(N(tx,ty) = -(tx)^2 \)
                  \(= t^2 (-x^2)\)


Dado que \(M(tx,ty) = t^2 M(x,y)\) y \(N(tx,ty) = t^2 N(x,y)\), la ecuación es homogénea.

Sustituyendo \(y = vx\) y \(dy = vdx + xdv\):

     \((x(vx) + (vx)^2 + x^2)dx - x^2(vdx + xdv) = 0\)

       \((vx^2 + v^2x^2 + x^2)dx - vx^2dx - x^3dv) = 0\)

  \(vx^2dx + v^2x^2dx + x^2dx - vx^2dx - x^3dv) = 0\)

Simplificamos términos semejantes:

 \( v^2x^2dx + x^2dx - x^3dv = 0\)

Agrupamos términos semejantes y sacamos factor común:

\( (v^2x^2dx + x^2dx) - x^3dv) = 0\)

\( (v^2 + 1) x^2dx- x^3dv = 0\)

Dividimos entre \( (v^2 + 1) x^3\) toda la ecuación:

   
   \( \frac{(v^2 + 1)x^2dx}{(v^2 + 1) x^3}dx - \frac{x^3dv}{(v^2 + 1) x^3} = 0\)

Simplificamos:

    \(\int \frac{dx}{x} - \int \frac{dv}{v^2 + 1}= \int 0\)

Para obtener:

 \( \ln |x| - \tan^{-1} \frac{y}{x} = C\)

Despejamos \(y\) para encontrar la solución explícita:

   \( \tan^{-1} \frac{y}{x} = \ln |x| - C\)

Aplicando la función tangente en ambos lados:

 \( \tan{(tan^{-1} \frac{y}{x})} = tan({\ln |x| - C})\)

   \( \frac{y}{x} = \tan(\ln |x| - C)\)

Multiplicando por \(x\):

   \( y = x \tan(\ln |x| - C)\)

Esta es la solución explícita de la ecuación diferencial.


Bibliografía:

Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.
D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.

I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.



   

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