Ejercicio 1: Resolución de una ecuación diferencial con condiciones iniciales


 Ejercicio 1: Resolución de una ecuación diferencial con condiciones iniciales

Resuelve la siguiente Ecuación diferencial dada con condiciones iniciales

\[\frac{dy}{dx} = 4 - 9x^2 - 6x^5\]

con la condición inicial:

\[y(1) = 2\]

Solución:

Reescribimos la ecuación diferencial en términos diferenciales multiplicando por dx toda la ecuación para obtener variables separadas:

\[dy = (4 - 9x^2 - 6x^5)dx\]

Integrando ambos lados:

\[\int dy = \int (4 - 9x^2 - 6x^5)dx\]


Realizamos la integración término a término de acuerdo a los teoremas de integrales:

\[y + C_1 = 4x - \frac{9x^3}{3} - \frac{6x^6}{6} + C_2\]


Simplificamos y despejamos y para obtener la solución general explicita:

\[y = 4x - 3x^3 - x^6 + C_3\] Donde \( C_3 = C_2 - C_1 \).


Aplicación de la condición inicial  \( y(1) = 2 \): que significa que cuando x=1, y=2 para sustituirlas en la ecuación general explicita obtenida anteriormente y despejar la constante \(C_3\)


\[y = 4x - 3x^3 - x^6 + C_3\]


Sustituyendo \( x = 1 \):


\[2 = 4(1) - 3(1)^3 - (1)^6 + C_3\]


\[2 = 4 - 3 - 1 + C_3\]


\[2 = C_3\] 


O bien \[ C_3=2\] 


Solución particular: sustituimos el valor de \( C_3 = 2 \) en la ecuación general explicita para obtener la solución particular.

\[y = 4x - 3x^3 - x^6 + 2\]


Solución final: la solución particular de la ecuación diferencial con la condición inicial dada es:

\[y(x) = 4x - 3x^3 - x^6 + 2\]

Bibliografía:

D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.

I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.

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