Ecuaciones diferenciales de segundo orden con condiciones iniciales: Una guía paso a paso con solución explícita
Ejercicio: Resuelve la siguiente ecuación diferencial de segundo orden \( y'' = 12x \), con las condiciones iniciales \( y(0) = 2, y'(0) = 5 \)
Solución:
Reescribimos la ecuación diferencial:
\[ \frac{d^2y}{dx^2} = 12x \]
\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right) = 12x \]
Separamos variables:
\[ d \left( \frac{dy}{dx} \right) = 12x \, dx \]
Integramos ambos lados:
\[ \int d \left( \frac{dy}{dx} \right) = \int 12x \, dx \]
\[ \frac{dy}{dx} = 6x^2 + C_1 \]
Observamos que tenemos otra ecuación diferencial de variables separables:
\[ dy = (6x^2 + C_1) \, dx \]
Integramos nuevamente:
\[ \int dy = \int (6x^2 + C_1) \, dx \]
Obtenemos la solución general explicita:
\[ y = 2x^3 + C_1x + C_2 \]
Aplicamos las condiciones iniciales: \( y(0) = 2 \):
\[ 2 = 2(0)^3 + C_1(0) + C_2 \]
\[ C_2 = 2 \]
Ahora la solución general explicita toma la forma:
\[ y = 2x^3 + C_1x + 2 \]
Derivamos la solución general anterior y aplicamos la otra condición inicia \( y'(0) = 5 \):
\[ y' = 6x^2 + C_1 \]
\[ 5 = 6(0)^2 + C_1 \]
\[ C_1 = 5 \]
Por lo tanto, la solución particular es:
\[ y = 2x^3 + 5x + 2 \]
Bibliografía:
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