Ejercicio 3: Solución de una ecuación diferencial con condiciones iniciales


Ejercicio 3: Solución de una ecuación diferencial con condiciones iniciales

Determinemos la solución particular de la ecuación diferencial:

\[y' = e^{4x} - 5\sin x\]

con la condición inicial:

\[y(0) = 5\]


Solución:

Reescribimos la ecuación en términos diferenciales:

\[\frac{dy}{dx} = e^{4x} - 5\sin x\]


Multiplicamos por \(dx\) para separar variables:

\[dy = (e^{4x} - 5\sin x)dx\]


Integramos ambos lados:

\[\int dy = \int e^{4x}dx - \int 5\sin xdx\]


Calculamos las integrales:

\[y + C_1 = \frac{1}{4} e^{4x} - 5(-\cos x) + C_2\]


\[y = \frac{1}{4} e^{4x} + 5\cos x + C_3\]

donde \( C_3 = C_2 - C_1 \).


Aplicamos la condición inicial sustituyendo \( y(0) = 5 \):


\[5 = \frac{1}{4} e^{4(0)} + 5\cos(0) + C_3\]


Como \( e^0 = 1 \) y \( \cos 0 = 1 \), tenemos:

\[5 = \frac{1}{4} + 5 + C_3\]


\[5 - 5 - \frac{1}{4} = C_3\]


\[C_3 = -\frac{1}{4}\]


Obtenemos la solución particular sustituyendo \( C_3 = -\frac{1}{4} \):


\[y = \frac{1}{4} e^{4x} + 5\cos x - \frac{1}{4}\]


Solución final: la solución particular de la ecuación diferencial con la condición inicial dada es:

\[y(x) = \frac{1}{4} e^{4x} + 5\cos x - \frac{1}{4}\]


Bibliografía:


D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.

I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.

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