Resolviendo una Ecuación Diferencial Homogénea y su Integral Asociada aplicando completación de cuadrados perfectos
Verifique si la ecuación diferencial es homogénea \((2x+3y)dx + (y-x)dy = 0 \), si lo es, resolverla por el método de las ecuaciones diferenciales homogéneas.
\((2x + 3y)dx + (y - x)dy = 0\)
Identificamos las funciones funciones:
\(M(x,y) = 2x + 3y \)
\(N(x,y) = y - x\)
Comprobamos la homogeneidad evaluando \(M\) y \(N\) en \((tx, ty)\):
\(M(tx,ty) = 2(tx) + 3(ty) = t(2x + 3y) = tM(x,y), \)
\(N(tx,ty) = (ty) - (tx) = t(y - x) = tN(x,y)\)
Dado que tanto \(M\) como \(N\) son homogéneas de grado 1, la ecuación diferencial es homogénea.
Usamos la sustitución \(y = vx\), lo que implica que \(dy = vdx + x dv\). Luego las sustituimos en la ecuación diferencial:
\((2x + 3vx)dx + (vx - x)(vdx + x dv) = 0\)
Realizamos las operaciones algébricas y reducimos términos semejantes
\(2x dx + 3vx dx + v^2 x dx + x^2 v dv - x v dx - x^2 dv = 0\)
Reducimos términos semejantes:
\(2x dx + 2vx dx + v^2 x dx + x^2 v dv - x^2 dv = 0\)
Agrupamos términos con factor común \(dx\) y \(dv\) respectivamente:
\((2x dx + 2vx dx + v^2 x dx) + (x^2 v dv - x^2 dv) = 0\)
Factorizamos:
\((2 + 2v + v^2) x dx + ( v - 1 ) x^2 dv= 0\)
Dividimos toda la ecuación entre \((2 + 2v + v^2) x^2 \)
\(\frac{(2 + 2v + v^2) x dx}{ (2 + 2v + v^2) x^2}+ \frac{( v - 1) x^2 dv}{(2 + 2v + v^2) x^2}= 0\)
Al simplificar obtenemos variables separables y por lo tanto integramos a ambos lados:
\(\int \frac{dx}{x} + \int \frac{(v - 1) dv}{v^2 + 2v + 1} = 0\)
Integramos todos los términos de la ecuación aplicando los teoremas correspondientes, obtenemos la solución de la ecuación diferencial en términos de v:
\[\ln | x |+\frac{1}{2} \ln | v^2 + 2v + 1 | - 2 \tan^{-1} | v+1 | = C\]
Sustituimos \(v\) por \(v=\frac{y}{x}\) para obtener la solución de la ecuación diferencial en términos de x e y.
\[\ln| x |+\frac{1}{2} \ln \left| \left( \frac{y}{x} \right)^2 + 2 \left( \frac{y}{x} \right) + 1 \right| - 2 \tan^{-1} \left| \frac{y}{x} + 1 \right| = C\]
Los pasos detallados de la solución de la segunda integral los explicamos a continuación:
\[\int \frac{v-1}{v^2 + 2v + 2} \, dv\]
El denominador es \( v^2+2v+2 \)
Paso 1: Completación de cuadrados
El denominador se puede reescribir como:
\[v^2 + 2v + 2 = (v+1)^2 + 1\]
Por lo que la integral se expresa como:
\[\int \frac{v-1}{(v+1)^2 + 1} \, dv\]
Paso 2: Aplicamos cambio de variable
Sea:
\[u = v + 1 \quad \Rightarrow \quad v = u - 1\]
Entonces:
\[du = dv\]
Sustituyendo en la integral:
\[\int \frac{(u - 1) - 1}{u^2 + 1} \, du\]
Separando los términos:
\[\int \frac{u - 2}{u^2 + 1} \, du = \int \frac{u}{u^2 + 1} \, du - \int \frac{2}{u^2 + 1} \, du\]
Paso 3: Resolviendo las integrales
Para la primera integral se resuelve por cambio de variables:
\[\int \frac{u}{u^2 + 1} \, du = \frac{1}{2} \ln | u^2 + 1 |\]
Para la segunda integral aplicamos integrales de tabla:
\[\int \frac{1}{u^2 + 1} \, du = \tan^{-1} u\]
Sustituyendo \( u = v+1 \):
\[\frac{1}{2} \ln | v^2 + 2v + 1 | - 2 \tan^{-1} | v+1 | + C\]
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