Integral de una función impropia aplicando división larga de polinomios

Resolver la siguiente integral: \(\int \frac{v+1}{2v+1} dv\)

Solución: 
La clave para resolver esta integral es realizar una división larga para reescribir la fracción. Esto nos permitirá separar la integral en dos partes más manejables o fáciles de integrar. 

\begin{array}{r} \frac{1}{2} \\ 2v+1 \overline{)v+1} \\ \underline{-v-\frac{1}{2}} \\ \frac{1}{2} \end{array}

¿Por qué división larga?

Cuando nos encontramos con una integral de una función racional donde el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, la fracción puede ser "impropia". Para resolver la integral, necesitamos convertirla en una fracción "propia" donde el grado del numerador sea menor que el del denominador. La división larga es la herramienta que nos permite hacer esta transformación.

¿Cómo funciona?

Al realizar la división larga, obtenemos un cociente y un residuo. Esto nos permite reescribir la fracción original como la suma de un polinomio (el cociente) y una fracción propia (el residuo sobre el divisor original).

¿Por qué es útil?

Una vez que tenemos la fracción en forma propia, la integral se vuelve más fácil de resolver. 

\(\frac{v+1}{2v+1} = \frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{2v+1} \)

Ahora podemos reescribir la integral original como:

\(\int \frac{v+1}{2v+1} dv = \int \left( \frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{2v+1} \right) dv\)

Aplicando propiedades de integrales: Usando la propiedad de linealidad de las integrales, separamos la integral en dos:

\(\int \left( \frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{2v+1} \right) dv = \frac{1}{2} \int dv + \frac{1}{2} \int \frac{1}{2v+1} dv\)

Resolvemos la primera integral: 

\(\frac{1}{2} \int dv = \frac{1}{2}v + C_1\)

Resolvemos la segunda integral: Para la segunda integral, podemos usar la sustitución \(u = 2v+1\), lo que implica \(du = 2dv\)  o \(dv = \frac{1}{2} du\):

\(\frac{1}{2} \int \frac{1}{2v+1} dv = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{4} \ln|u| + C_2 = \frac{1}{4} \ln|2v+1| + C_2\)

Solución final: Juntamos los resultados y las constantes de integración, para obtener:  

\(\int \frac{v+1}{2v+1} dv = \frac{1}{2}v + \frac{1}{4} \ln|2v+1| + C\)



Bibliografía:

Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.
D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.

I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.

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