Ecuaciones Diferenciales Exactas: Una Guía Paso a Paso con la solución de un Ejemplo

 Definición de Diferencial Total

Dada la función \(z = f(x, y)\), se dice que la expresión,

\(dz = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy\), es su diferencial total.

Definición de Ecuación Diferencial Exacta.

Una ecuación diferencial de la forma \(M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0\), se dice que es exacta si existe una función \(F(x, y)\) tal que

\[\frac{\partial F}{\partial x} = M(x, y) \quad \text{y} \quad \frac{\partial F}{\partial y} = N(x, y)\]

En otras palabras, la diferencial total de \(F(x, y)\) es igual a la expresión en el lado izquierdo de la ecuación diferencial.

Pasos para Resolver una Ecuación Diferencial Exacta.

1. Verificar si la ecuación es exacta:

   Calcular las derivadas parciales \(\frac{\partial M}{\partial y}\) y \(\frac{\partial N}{\partial x}\). Si son iguales, la ecuación es exacta.

2. Encontrar la función \(F(x, y)\):

   Integrar \(M(x, y)\) con respecto a \(x\), manteniendo \(y\) constante:

   \[F(x, y) = \int M(x, y)dx + g(y)\]

   Aquí, \(g(y)\) es una función arbitraria de \(y\) que surge de la integración.

3. Determinar \(g(y)\):

   Derivar \(F(x, y)\) con respecto a \(y\) y comparar el resultado con \(N(x, y)\):

   \[   \frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \int M(x, y)dx + g(y) \right) = N(x, y)\]

   Despejar \(g'(y)\) de esta ecuación e integrar para obtener \(g(y)\).

4. Escribir la solución general:

   La solución general de la ecuación diferencial exacta es:

   \(F(x, y) = C\) donde \(C\) es una constante arbitraria.

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial:

\((2xy + y^2)dx + (x^2 + 2xy)dy = 0\)

1. Verificamos que la ecuación diferencial sea exacta:

   \( \frac{\partial}{\partial y}(2xy + y^2) = 2x + 2y\)

   \(\frac{\partial}{\partial x}(x^2 + 2xy) = 2x + 2y\)

   Por lo tanto la ecuación es exacta.

2. Integración:

  \(F(x, y) = \int (2xy + y^2)dx = x^2y + xy^2 + g(y)\)

3. Determinación de \(g(y)\):

   \(\frac{\partial F}{\partial y} = x^2 + 2xy + g'(y) = x^2 + 2xy\)

   \(g'(y) = 0 \Rightarrow g(y) = C_1\)

  

4. Solución general:

   \(x^2y + xy^2 = C\)

   donde \(C \) es una constante arbitraria.