Ejercicio 5: Determina la solución particular de la ecuación diferencial


Ejercicio 5: Determina la solución particular de la ecuación diferencial 

\[y' = \ln x - 9x^2\]

con la condición inicial \( y(1) = 7 \).

Solución:

Reescribimos la ecuación en términos diferenciales:

\[\frac{dy}{dx} = \ln x - 9x^2\]

Multiplicamos por \( dx \) para separar las variables:

\[dy = (\ln x - 9x^2)dx\]

Integramos ambos lados:

\[\int dy = \int (\ln x - 9x^2) dx\]

Descomponemos la integral:

\[y = \int \ln x \, dx - \int 9x^2 \, dx\]

Para la primera integral, usamos integración por partes con:

\( u = \ln x \), entonces \( du = \frac{1}{x} dx \).
\( dv = dx \), entonces \( v = x \).

Aplicando la fórmula de integración por partes:

\[\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx\]

\[= x \ln x - \int dx = x \ln x - x\]

Para la segunda integral:

\[\int 9x^2 dx = 9 \frac{x^3}{3} = 3x^3\]

Sustituyendo todo en la ecuación:

\[y = x \ln x - x - 3x^3 + C\]

Aplicamos la condición inicial: \( y(1) = 7 \).

\[7 = 1 \ln 1 - 1 - 3(1)^3 + C\]

\[7 = 0 - 1 - 3 + C\]

\[7 + 1 + 3 = C\]

\[C = 11\]

Por lo tanto, la solución particular es:

\[y = x \ln x - x - 3x^3 + 11\]


Bibliografía:

D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.

I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.

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