Matemática

En el ambiente de las ingenierías y las ciencias aplicadas es posible encontrarnos con la necesidad de resolver integrales cíclicas: un ejemplo de este tipo de integral es la integral de la función \(I = \int e^x \sin(x) \, dx\). Este tipo de integrales se resuelve a través del método de integración por partes,  descubriremos cómo esta integral, aparentemente sin fin, se resuelve de manera elegante y cíclica a través del despeje de la misma.  Solución de la Integral Cíclica \(\int e^x \sin(x) \, dx\) Consideremos la integral: \[I = \int e^x \sin(x) \, dx\] Utilizaremos la integración por partes, cuya fórmula es: \[\int u \, dv = uv - \int v \, du\] Primer paso: Sea \(u = \sin(x)\) y \(dv = e^x \, dx\). Entonces, \(du = \cos(x) \, dx\) y \(v = \int e^x \, dx = e^x\). Aplicando la fórmula de integración por partes: \[I = e^x \sin(x) - \int e^x \cos(x) \, dx\] Ahora, necesitamos resolver la nueva integral \(\int e^x \cos(x) \, dx\). Nuevamente, aplicaremos la integración por p...

Resolver la siguiente ecuación diferencial usando el método de coeficientes indeterminados: \[\frac{1}{4} y''+y'+y=x^2-2x\] Solución: 1. Resolver la ecuación homogénea: Resolvemos la ecuación homogénea asociada: \[ \frac{1}{4}y'' + y' + y = 0 \] La ecuación característica es: \[\frac{1}{4} \lambda^2+\lambda +1=0\] Usamos la fórmula cuadrática para encontrar las raíces: \[ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Donde a = 1, b = 1 y c = 1. Sustituyendo: \[ \lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(\frac{1}{4})(1)}}{2(\frac{1}{4})} \] \[ \lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{1-1}}{\frac{1}{2}} \] \[ \lambda = -\frac{1}{\frac{1}{2}}\]  \[ \lambda_2 = -2\] Las raíces reales e iguales: La solución general de la ecuación homogénea es: \[ y_h =c_1 e^{-2x}+c_2xe^{-2x} \] 2. Encontrar la solución particular: Como el lado derecho de la ecuación es un polinomio de grado 2, proponemos una solución particular de la forma: \[ y_p = Ax^2 + Bx + C \] Calculamos la primera y segund...

Problema Una compañía fabrica dos productos, A y B. Los ingresos unitarios son \$2 y \$3, respectivamente. Las disponibilidades diarias de dos materias primas, M1 y M2, utilizadas en la fabricación de los dos productos son de 8 y 18 unidades, respectivamente. Una unidad de A utiliza 2 unidades de M1 y 2 unidades de M2, y una unidad de B utiliza 3 unidades de M1 y 6 unidades de M2. (a) Determine la condición de optimalidad para que mantendrá el óptimo sin cambio. (b) Determine los intervalos de optimalidad para cA y cB, suponiendo que el otro coeficiente se mantiene constante en su valor actual. (c) Si los ingresos unitarios cA y cB cambian al mismo tiempo a $5 y $4, respectivamente, determine la nueva solución óptima. (d) Si los cambios en (c) se hacen uno a la vez, qué se puede decir sobre la solución óptima? (Hamdy A Taha, 2012) Modelo de Programación Lineal Maximizar \(Z = 2x_1 + 3x_2\) Sujeto a: \(2x_1 + 3x_2  \leq 8 \) \(2x_1 + 6x_2  \leq 18 \) \(x_1, x_2  \geq 0\...

Resolver y Comprobar: \[ y''' - y'' - y' + y = 0 \] Solución: Aplicamos la ecuación auxiliar: \[ \lambda^3 - \lambda^2 - \lambda + 1 = 0 \] Aplicamos división sintética: 1      -1      -1      1         -1           -1      2      -1           1      -2      1      0 \[ (\lambda^2 - 2\lambda +1)(\lambda + 1) = 0 \] \[ (\lambda - 1)(\lambda - 1)(\lambda + 1) = 0 \] Las raíces son: \[ \lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = 1, \quad \lambda_3 = -1 \] La solución general es: \[ y = c_1 e^x + c_2 xe^x + c_3 e^{-x} \] Comprobación: Calculamos las derivadas: \[ y' = c_1 e^x + c_2 e^x + c_2 xe^x - c_3 e^{-x} \] \[ y'' = c_1 e^x + 2c_2 e^x + c_2 xe^x + c_3 e^{-x} \] \[ y''' = c_1 e^x + 3c_2 e^x + c_2 xe^x - c_3 e^{-x} \] Sustituimos en la ecuación diferencial: \[(c_1 e^x + 3c_2 e^x + c_2 xe...

Solución al Problema de Programación Lineal - Precios Duales - Método grafico. Problema Una compañía fabrica dos productos, A y B. Los ingresos unitarios son $2 y $3, respectivamente. Las disponibilidades diarias de dos materias primas, M1 y M2, utilizadas en la fabricación de los dos productos son de 8 y 18 unidades, respectivamente. Una unidad de A utiliza 2 unidades de M1 y 2 unidades de M2, y una unidad de B utiliza 3 unidades de M1 y 6 unidades de M2. (Hamdy A Taha, 2012) Solución: a) Determine los precios duales de M1 y M2 y sus intervalos de factibilidad. La función objetivo a maximizar es: \[ Z = 2x_1 + 3x_2 \] donde \((x_1)\) es la cantidad del producto A y \((x_2)\) es la cantidad del producto B. Las restricciones son:  \[ 2x_1 + 3x_2 \leq 8 \quad \text{(M1)} \]  \[2x_1 + 6x_2 \leq 18 \quad \text{(M2)}\]  \[ x_1, x_2 \geq 0 \] Análisis de Precios Duales en Programación Lineal Aumentando la Capacidad de Materia Prima M1: \[\text{Maximizar } Z = 2x_1 + 3x_2 \] ...

Resumen para resolver una Ecuación diferencial homogénea de segundo orden: \[ ay'' + by' + cy = 0 \] Ecuación auxiliar: \[ a\lambda^2 + b\lambda + c = 0 \] Casos de solución:   \( \textbf{Caso 1:} \textbf{Raíces reales distintas:} \lambda_1, \lambda_2 \).         \[ y(x) = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x} \]     \(\textbf{Caso 2:} \textbf{Raíz real repetida:} \lambda \).         \[ y(x) = c_1 e^{\lambda x} + c_2 x e^{\lambda x} \]    \( \textbf{Caso 3:} \textbf{Raíces complejas conjugadas:}  \alpha \pm i\beta \).         \[ y(x) = e^{\alpha x} (A \cos(\beta x) + B \sin(\beta x)) \] Ejercicio 4: Resolver la ecuación diferencial: \[ y'' + 9y = 0 \] \(\textbf{Solución:}\) 1. Ecuación auxiliar:    \[ \lambda^2 + 9 = 0 \] 2. Raíces de la ecuación auxiliar:    \[ \lambda^2 = -9 \]    \[ \lambda = \pm \sqrt{-9} \]    \[ \lambda = \pm \sqrt{9} \cdot \sqrt...

Resumen para resolver una Ecuación diferencial homogénea de segundo orden: \[ ay'' + by' + cy = 0 \] Ecuación auxiliar: \[ a\lambda^2 + b\lambda + c = 0 \] Casos de solución:   \( \textbf{Caso 1:} \textbf{Raíces reales distintas:} \lambda_1, \lambda_2 \).         \[ y(x) = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x} \]     \(\textbf{Caso 2:} \textbf{Raíz real repetida:} \lambda \).         \[ y(x) = c_1 e^{\lambda x} + c_2 x e^{\lambda x} \]    \( \textbf{Caso 3:} \textbf{Raíces complejas conjugadas:}  \alpha \pm i\beta \).         \[ y(x) = e^{\alpha x} (A \cos(\beta x) + B \sin(\beta x)) \] Ejercicio 2: Resolver la ecuación diferencial: \[ 4y'' + y' = 0 \] \(\textbf{Solución:}\) 1. Ecuación auxiliar:    \[ 4\lambda^2 + \lambda = 0 \]    \[ \lambda(4\lambda + 1) = 0 \] 2. Raíces de la ecuación auxiliar:    \[ \lambda_1 = 0 \]    \[ 4\lambda + 1 = 0 \Rightar...

Resumen para resolver una Ecuación diferencial homogénea de segundo orden: \[ ay'' + by' + cy = 0 \] Ecuación auxiliar: \[ a\lambda^2 + b\lambda + c = 0 \] Casos de solución:   \( \textbf{Caso 1:} \textbf{Raíces reales distintas:} \lambda_1, \lambda_2 \).         \[ y(x) = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x} \]     \(\textbf{Caso 2:} \textbf{Raíz real repetida:} \lambda \).         \[ y(x) = c_1 e^{\lambda x} + c_2 x e^{\lambda x} \]    \( \textbf{Caso 3:} \textbf{Raíces complejas conjugadas:}  \alpha \pm i\beta \).         \[ y(x) = e^{\alpha x} (A \cos(\beta x) + B \sin(\beta x)) \] Ejercicio 1: Resolver la siguiente ecuación diferencial de segundo orden: \[ y'' + 6y' + 9y = 0 \] Solución: Para resolver la ecuación de segundo orden homogénea usamos su ecuación auxiliar o característica. 1. Ecuación característica:    Asumimos una solución de la forma \( y = e^{\lambda x} \). Su...

Resuelve aplicando el método de variación de parámetros: \[\frac{dy}{dx} + y = e^{2x} \] \(\text{Solución:} \) \[\text{Calcular } V = e^{-\int f(x) dx} \] \[V = e^{-\int 1 dx} = e^{-x} \] \[\text{Calcular } U = \int \frac{r(x)}{V(x)} dx + C \] \[U = \int \frac{e^{2x}}{e^{-x}} dx + C \] \[U = \int e^{2x} \cdot e^x dx + C \] \[U = \int e^{3x} dx + C \] \[U = \frac{1}{3} e^{3x} + C \] \[\text{Obtenemos la solución final} \] \[y = U \cdot V \] \[y = (\frac{1}{3} e^{3x} + C) \cdot e^{-x} \] \[y = \frac{1}{3} e^{2x} + Ce^{-x}\] Colegio Nacional de Matemáticas (2009).  Matemáticas simplificadas,  2ª ed. México: Pearson educación. D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997. I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.

Ejercicio 7 Resolver la siguiente ecuación diferencial: \[ \frac{dy}{dx} + \sec(x) y = \cos(x) \] Solución: 1. Calculamos  \( v \):    \[ v = e^{-\int \sec(x) dx} = e^{-\ln|\sec(x) + \tan(x)|} = e^{\ln|\sec(x) + \tan(x)|^{-1}} = \frac{1}{\sec(x) + \tan(x)} \] 2. Calculamos la solución general \( u \):    \[ u = \int \frac{\cos(x)}{\frac{1}{\sec(x) + \tan(x)}} dx + C \]    \[ u = \int \cos(x) \cdot (\sec(x) + \tan(x)) dx + C \]    \[ u = \int \cos(x) \cdot {\frac{1}{\cos(x)} + \cos(x) \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)}} dx + C \]    \[ u = \int {1 + \sin(x)} dx + C \]    \[ u = x - \cos(x) + C \]   3. Solución final: \[ u = x - \cos(x) + C \] \[ v = \frac{1}{\sec(x) + \tan(x)} \] \[ y = u \cdot v \] \[ y = (x - \cos(x) + C) \cdot \frac{1}{\sec(x) + \tan(x)} \] \[ y = \frac{x - \cos(x) + C}{\sec(x) + \tan(x)} \] Colegio Nacional de Matemáticas (2009).  Matemáticas simplificadas,  2ª ed. México: Pearson educ...

Variación de Parámetros:  Ejercicio 6 Resolver la ecuación diferencial: \[ y' + (1 + 3x^2)y = 3 + 9x^2 \] 1.  Encontrar v:     \[ v = e^{-\int (1 + 3x^2) dx} = e^{-x - x^3} \] 2.  Encontrar u:     \[ u = \int \frac{3 + 9x^2}{e^{-x - x^3}} dx = \int (3 + 9x^2) e^{x + x^3} dx \]     \[ u = 3 \int (1 + 3x^2) e^{x + x^3} dx \] 3.  Cambio de variable:     Sea \( p = x + x^3 \), entonces \( dp = (1 + 3x^2) dx \).     \[ u = 3 \int e^p dp = 3 e^p + C = 3 e^{x + x^3} + C \] 4.  Solución general:     \[ y = uv = (3 e^{x + x^3} + C) e^{-x - x^3} = 3 + Ce^{-x - x^3} \]   \[ y = 3 + Ce^{-x - x^3} \] Colegio Nacional de Matemáticas (2009).  Matemáticas simplificadas,  2ª ed. México: Pearson educación. D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997. I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011....

Variación de Parámetros:  Ejercicio 5 Resolver la ecuación diferencial: \[ y' + \cos x y = \sec^2 x e^{-\sin x} \] 1.  Encontrar v:     \[ v = e^{-\int \cos x dx} = e^{-\sin x} \] 2.  Encontrar u:     \[ u = \int \frac{\sec^2 x e^{-\sin x}}{e^{-\sin x}} dx = \int \sec^2 x dx \]     \[ u = \tan x + C \] 3.  Solución general:     \[ y = uv = (\tan x + C) e^{-\sin x} \]     \[ y  (\tan x + C) e^{-\sin x} \] Colegio Nacional de Matemáticas (2009).  Matemáticas simplificadas,  2ª ed. México: Pearson educación. D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997. I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.

Ejercicio 4 Resolver la ecuación diferencial: \[ x \frac{dy}{dx} - 2x^2 y = e^{x^2} \] 1.  Forma estándar:     Dividimos por \( x \) para obtener la forma estándar:     \[ \frac{dy}{dx} - 2x y = \frac{e^{x^2}}{x} \] 2.  Encontrar v:     \[ v = e^{-\int -2x dx} = e^{x^2} \] 3.  Encontrar u:     \[ u = \int \frac{\frac{e^{x^2}}{x}}{e^{x^2}} dx + C = \int \frac{1}{x} dx + C \]     \[ u = \ln|x| + C \] 4.  Solución general:     \[ y = uv = (\ln|x| + C) e^{x^2} \]   \[ y = (\ln|x| + C) e^{x^2} \] Colegio Nacional de Matemáticas (2009).  Matemáticas simplificadas,  2ª ed. México: Pearson educación. D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997. I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.

Ejercicio 3 Resolver la ecuación diferencial: \[ \frac{dy}{dx} - xy = x^2 e^{\frac{x^2}{2}} \] Solución: 1.  Encontrar v:     \[ v = e^{-\int -x dx} = e^{\frac{x^2}{2}} \] 2.  Encontrar u:     \[ u = \int \frac{x^2 e^{\frac{x^2}{2}}}{e^{\frac{x^2}{2}}} dx + C = \int x^2 dx + C \]     \[ u = \frac{x^3}{3} + C \] 3.  Solución general:     \[ y = uv = \left( \frac{x^3}{3} + C \right) e^{\frac{x^2}{2}} \] \[ y = \left( \frac{x^3}{3} + C \right) e^{\frac{x^2}{2}} \] Colegio Nacional de Matemáticas (2009).  Matemáticas simplificadas,  2ª ed. México: Pearson educación. D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997. I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.

Ejercicio 2 Resolver la ecuación diferencial: \[ \frac{dy}{dx} - 2y = x \] Solución: 1.  Encontrar v: sabemos que \(f(x)=-2\) y que     \[ v = e^{-\int f(x) dx}\]     \[ v = e^{-\int -2 dx} = e^{2x} \] 2.  Encontrar u: sabemos que \(v=e^{2x}\),  \(r(x)=x\)   \[ u = \int \frac{r(x)}{v(x)} dx + C  \]     \[ u = \int \frac{x}{e^{2x}} dx + C = \int xe^{-2x} dx + C \] 3.  Resolver la integral por partes: usamos los subíndices en las variable \(u\) y \(v\) para evitar confusión con las formulas propias del método de variación de parámetros.     Hacemos:     \[ u_1 = x \quad dv_1 = e^{-2x} dx \]     \[ du_1 = dx \quad v_1 = -\frac{1}{2}e^{-2x} \]     Aplicamos la fórmula de integración por partes:     \[ \int u_1 dv_1 = u_1 v_1 - \int v_1 du_1 \]     \[ \int xe^{-2x} dx = -\frac{1}{2}xe^{-2x} - \int -\frac{1}{2}e^{-2x} dx \]     \[ = -\frac{1}{2}xe^{-2x} + \f...

Método de Variación de Parámetros El método de variación de parámetros es una técnica para encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de la forma: \[ y' + f(x)y = r(x) \] La solución general se expresa como: \[ y = u \cdot v \] donde: \[ v = e^{-\int f(x) dx} \] \[ u = \int \frac{r(x)}{v(x)} dx + C \] Ejercicio 1: Resolver la ecuación diferencial: \[ \frac{dy}{dx} - 2y = -6 \] Solución: 1.  Encontrar v: sabemos que \[ f(x) = -2 \]     \[ v = e^{-\int -2 dx} = e^{2x} \] 2.  Encontrar u: sabemos que \( v =  e^{2x} \) y \( r(x)=-6 \)     \[ u = \int \frac{-6}{e^{2x}} dx = -6 \int e^{-2x} dx = 3e^{-2x} + C \] 3.  Escribimos la solución general:     \[ y = u \cdot v = (3e^{-2x} + C)e^{2x} = 3 + Ce^{2x} \]      \[ y = 3 + Ce^{2x} \] Colegio Nacional de Matemáticas (2009).  Matemáticas simplificadas,  2ª ed. México: Pearson educación. D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones ...

La integración por partes es una herramienta importante en el cálculo integral, especialmente útil cuando vamos a resolver integrales con funciones que son el producto de dos funciones distintas. En esta entrada, nos centraremos en un caso particular: la integración de funciones formadas por un polinomio y una función exponencial.  Aprenderás a identificar cuándo aplicar esta técnica y cómo llevarla a cabo paso a paso, con un ejemplo práctico que te servirá de guía para resolver ejercicios similares. Resolver de la integral \(\int xe^{2x} \, dx\) mediante integración por partes: Solución: Utilizaremos la fórmula de integración por partes: \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\). Cuando tenemos la integral de una función polinómica en este caso \(x\) y una función exponencial en este caso \(e^{2x}\), hacemos \(u\) la función polinómica y \(dv\) la función exponencial con su respectivo diferencial. De acuerdo a lo anterior \[u = x \] \[dv = e^{2x} \, dx\] Calculamos \(du\) derivando \(...

En esta entrada, exploraremos un método eficaz para resolver integrales de funciones trigonométricas donde el argumento de la función (lo que está dentro del seno, coseno, etc.) puede ser utilizado como nuestra variable de sustitución \(u\). Aprenderás a identificar cuándo esta técnica es aplicable y cómo llevarla a cabo paso a paso, tal como se describe en el siguiente ejemplo: Ejemplo: Resolver la integral \[\int x \cdot \sin(4x^2) \, dx\] Solución: Resolvemos la integral aplicando el teorema   \[\int x \cdot \sin(u) \, dx=-\cos(u)+C\] Para ello aplicamos el siguiente cambio de variables Hacemos \(u = 4x^2\). Derivamos \(u\) con respecto a \(x\), \(\frac{du}{dx} = 8x\), lo que implica que \(du = 8x \, dx\) y \(\frac{du}{8} = x \, dx\). Hacemos el cambio de variable sustituyendo \(u\) y \(xdx\) en la integral original para reescribirla en términos de \(u\): \[\int x \cdot \sin(4x^2) \, dx = \int \sin(u) \cdot \frac{du}{8}\]   \[=\frac{1}{8} \int \sin(u) \, du\]...

A continuación explicamos la solución de la integral de una función exponencial. Esta es una información que te puede servir de guía para desarrollar habilidades en la solución de integrales, sin embargo es la practica constante la que te ayudará a desarrollas.  Ejemplo: Resolver la siguiente integral: \[ \int e^{2x+1} dx \] Aplicamos el método de sustitución o cambio de variable para luego aplicar el teorema: \[ \int e^u du=e^u +C\] Hacemos: \[ u = 2x + 1 \] Ahora, derivamos \(u\) con respecto a \(x\) para encontrar \(du\): \[ \frac{du}{dx} = 2 \] Despejamos \(dx\): \[ du = 2 dx \] \[ dx = \frac{du}{2} \] Sustituimos \(u\) y \(dx\) en la integral original para reescribirla en términos de \(u\): \[ \int e^{2x+1} dx = \int e^u \frac{du}{2} \] Sacamos la constante \(\frac{1}{2}\) de la integral: \[ \frac{1}{2} \int e^u du \] La integral de \(e^u\) es \(e^u\) más la constante de integración: \[ \frac{1}{2} e^u + C \] Finalmente, sustituimos \(u\) de nuevo por \(2x+1\): \[ \frac{1}{...

Este es un ejemplo clásico donde un fenómeno físico "Lanzamiento vertical descendente" se puede modelar a través de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Problema: Un objeto que pesa 30 Newton se lanza desde una altura de 40 m, con una velocidad inicial de 3 m/seg. Supongamos que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo. Se sabe que la velocidad límite debe ser de 40 m/seg. Encontrar: 1 . La expresión de la velocidad del objeto en un tiempo t , 2 . la expresión para la posición del cuerpo en un tiempo t y 3 . la velocidad después de 8 segundos. Consideremos un objeto de peso \(m = 30\) Newton que cae desde una altura de 40 metros. El objeto experimenta una fuerza de resistencia del aire proporcional a su velocidad, dada por \(F_{resistencia} = kv\), donde \(k = \frac{3}{4}\) es la constante de proporcionalidad. La fuerza neta que actúa sobre el objeto es la diferencia entre el peso y la resistencia del aire: \[ F_{neta} = mg - kv \]...

Identificar cuando podemos aplicar un cambio de variable para resolver integrales es importante ya que las integrales juegan un papel importante al momento de resolver ecuaciones diferenciales. A continuación explicamos los pasos necesarios para resolver una integral aplicando cambio de variables.  Ejemplo: Resolver de la Integral \[\int \frac{dx}{(3x-4)^4}\] Resolveremos una integral utilizando el método de cambio de variable. El objetivo es encontrar la antiderivada de la función dada. Resolver la integral por cambio de variable consiste en reescribir la integral en términos de otra variable y la integral resultante debe de ser más fácil de resolver. La integral a resolver es: \[\int \frac{dx}{(3x-4)^4}\] Solución: 1. Para lograr el cambio de variable:    Hacemos \(u = 3x - 4\).  luego, la derivada de \(u\) con respecto a \(x\) es:    \[   \frac{du}{dx} = 3   \]    Despejamos \(dx\), para luego sustituir \(u\) y  ...

  En esta entrada, resolveremos un ejercicio de cálculo integral que involucra una función elevada a una potencia fraccionaria. A través de un paso a paso, desglosaremos la solución de una integral propuesta, aplicando la regla de integración de la potencia. Ejemplo: resolver la Integral \(\int x^{\frac{4}{3}} dx\) Solución: Aplicamos la regla de la potencia para la integración que establece:        \[\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\]          donde \(n\) es cualquier número real diferente de -1, y \(C\) es la constante de integración.          En nuestro caso, \(n = \frac{4}{3}\). Aplicando la regla, obtenemos:        \[\int x^{\frac{4}{3}} dx = \frac{x^{\frac{4}{3} + 1}}{\frac{4}{3} + 1} + C\]       Simplificamos el exponente y el denominador:  Como lo indica la regla de la potencia sumamos 1 al exponente y al denominador:         \[...

Un circuito RC tiene una fem de 200 cos 2t (en voltios), una resistencia de 50 ohmios y una capacitancia de \(10^{-2}\)  faradios. En t = 0 no hay carga en el condensador. Hallar la corriente en el circuito en un tiempo t. Solución:  La ecuación diferencial que describe la carga ( q(t) ) en el circuito RC es: \(\frac{dq}{dt} + \frac{1}{RC} q = \frac{E}{R}, \quad \text{además} \quad I = \frac{dq}{dt}\) Donde  Los datos de la ecuación son: Resistencia ( R ): 50 ohmios Capacitancia ( C ):\( 10^{-2}\)faradios Fem ( E ( t ) ): 200 cos 2 t voltios Sustituyendo los valores correspondientes obtenemos la ecuación diferencial lineal de primer orden no homogénea. \[ \frac{dq}{dt} + 2q = 4 \cos(2t) \] Paso 1: Identificar la forma estándar La ecuación diferencial está en la forma estándar: \[ \frac{dq}{dt} + P(t)q = Q(t) \] donde \( P(t) = 2 \quad y \quad  Q(t) = 4 \cos(2t) \). Paso 2: Calcular el factor integrante El factor integrante (FI) se calcula como: \[ FI = e^{\int...

Resuelve la siguiente ecuación lineal de primer orden \[ xy' + 4y = x^3 - x \] Solución: Dividimos toda la ecuación diferencial entre \(x\): \[ y' + \frac{4}{x}y = \frac{x^3}{x} - \frac{x}{x} \] \[ y' + \frac{4}{x}y = x^2 - 1 \] Buscamos el factor integrante para ecuaciones diferenciales lineales de primer orden: \[ FI = e^{\int \frac{4}{x} dx} = e^{4 \ln|x|} = e^{\ln|x^4|} \] \[ FI = x^4 \] Multiplicamos toda la ecuación por el factor integrante \(x^4\): \[ x^4 y' + x^4 \cdot \frac{4}{x} y = x^4 (x^2 - 1) \] \[ x^4 y' + 4x^3 y = x^6 - x^4 \] Reescribimos el lado izquierdo: \[ \frac{d}{dx}(x^4 \cdot y) = x^6 - x^4 \] Separamos variables: \[ d(x^4 y) = (x^6 - x^4) dx \] Integramos a ambos lados de la ecuación: \[ \int d(x^4 y) = \int (x^6 - x^4) dx \] \[ x^4 y = \frac{x^7}{7} - \frac{x^5}{5} + C \] Despejamos \(y\) para determinar la solución final: \[ y = \frac{x^3}{7} - \frac{x}{5} + \frac{C}{x^4} \] Recuerda que este ejercicio es una guía metódica, la practica ...

En esta entrada explicamos el paso a paso para resolver una integral aplicando cambio de variable, lo hacemos a través de la solución del siguiente ejemplo, la idea es que esta información te sirva para practicar las solución de integrales, la clave está en practicar por tu cuenta.  Resolver la siguiente integral\(\int \frac{2v+1}{2v^2+2v+2} dv\) Paso 1: Simplificación inicial Primero, podemos reescribir la integral factorizando, observamos que el denominador tiene factor común 2: \(\int \frac{2v+1}{2(v^2+v+1)} dv\) Luego, sacamos la constante 1/2 fuera de la integral: \(\frac{1}{2} \int \frac{2v+1}{v^2+v+1} dv\) Paso 2: Aplicamos cambio de variable Realizamos un cambio de variable para simplificar la integral. El cambio de variables consiste en reescribirla integral en términos de otra variable en este caso u y que al reescribirla esta sea más fácil de integrar.  Hacemos: \(u = v^2 + v + 1\) Entonces, la derivada de \(u\) con respecto a \(v\) es: \(\frac{du}{dv} = 2v + 1\...

Consideremos la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden: \[ x \frac{dy}{dx} + 2y = 3 \] Paso 1: Dividir entre \(x\) Dividimos toda la ecuación entre \(x\) para obtener la forma estándar: \[ \frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = \frac{3}{x} \] Paso 2: Encontrar el Factor Integrante El factor integrante (FI) se calcula como: \[ FI = e^{\int \frac{2}{x} dx} \] \[ \int \frac{2}{x} dx = 2 \ln|x| = \ln|x^2| \] \[ FI = e^{\ln|x^2|} = x^2 \] Paso 3: Multiplicar la Ecuación por el Factor Integrante Multiplicamos toda la ecuación por el factor integrante \(x^2\): \[ x^2 \frac{dy}{dx} + 2x y = 3x \] Paso 4: Reescribir el Lado Izquierdo El lado izquierdo se puede reescribir como la derivada de un producto entre el factor integrante y la función y: \[ \frac{d}{dx}(x^2 y) = 3x \] Paso 5: Integrar Ambos Lados Integramos ambos lados con respecto a \(x\): \[ \int \frac{d}{dx}(x^2 y) dx = \int 3x dx \] \[ x^2 y = \frac{3x^2}{2} + C \] Paso 6: Despejar \(y\) Dividimos ambos lados por \(x^2\) p...

Consideremos la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden: \[ \frac{dy}{dx} + 2y = 0 \] Esta ecuación es homogénea, ya que está igualada a cero. Paso 1: Separación de Variables Procedemos a separar las variables \(y\) y \(x\): \[ \frac{dy}{dx} = -2y \] \[ dy = -2y \, dx \] \[ \frac{dy}{y} = -2 \, dx \] Paso 2: Integración Integramos ambos lados de la ecuación: \[ \int \frac{dy}{y} = \int -2 \, dx \] \[ \ln|y| = -2x + C_1 \] Paso 3: Despeje de \(y\) Aplicamos la función exponencial a ambos lados para despejar \(y\): \[ e^{\ln|y|} = e^{-2x + C_1} \] \[ |y| = e^{-2x} \cdot e^{C_1} \] Dado que \(e^{C_1}\) es una constante positiva, podemos reescribirla como \(C\), donde \(C\) puede ser positiva o negativa: \[ y = C e^{-2x} \] Paso 4: Comprobación Para verificar la solución, derivamos \(y\) con respecto a \(x\): \[ y' = -2C e^{-2x} \] Sustituimos \(y\) e \(y'\) en la ecuación diferencial original: \[ \frac{dy}{dx} + 2y = 0 \] \[ -2C e^{-2x} + 2(C e^{-2x}) = 0 \] \[ ...