Solución de una integral cíclica de una función trigonométrica y una exponencial que se resuelve por partes:
En el ambiente de las ingenierías y las ciencias aplicadas es posible encontrarnos con la necesidad de resolver integrales cíclicas: un ejemplo de este tipo de integral es la integral de la función \(I = \int e^x \sin(x) \, dx\). Este tipo de integrales se resuelve a través del método de integración por partes, descubriremos cómo esta integral, aparentemente sin fin, se resuelve de manera elegante y cíclica a través del despeje de la misma.
Solución de la Integral Cíclica \(\int e^x \sin(x) \, dx\)
Consideremos la integral:
\[I = \int e^x \sin(x) \, dx\]
Utilizaremos la integración por partes, cuya fórmula es:
\[\int u \, dv = uv - \int v \, du\]
Primer paso:
Sea \(u = \sin(x)\) y \(dv = e^x \, dx\). Entonces, \(du = \cos(x) \, dx\) y \(v = \int e^x \, dx = e^x\).
Aplicando la fórmula de integración por partes:
\[I = e^x \sin(x) - \int e^x \cos(x) \, dx\]
Ahora, necesitamos resolver la nueva integral \(\int e^x \cos(x) \, dx\). Nuevamente, aplicaremos la integración por partes.
Segundo paso:
Sea \(u = \cos(x)\) y \(dv = e^x \, dx\). Entonces, \(du = -\sin(x) \, dx\) y \(v = \int e^x \, dx = e^x\).
Aplicando la fórmula de integración por partes:
\[\int e^x \cos(x) \, dx = e^x \cos(x) - \int e^x (-\sin(x)) \, dx\]
\[\int e^x \cos(x) \, dx = e^x \cos(x) + \int e^x \sin(x) \, dx\]
Sustituyendo el resultado del segundo paso en el primer paso:
Recordemos que \(I = \int e^x \sin(x) \, dx\).
Sustituyendo la expresión que encontramos para \(\int e^x \cos(x) \, dx\):
\[I = e^x \sin(x) - \left( e^x \cos(x) + \int e^x \sin(x) \, dx \right)\]
\[I = e^x \sin(x) - e^x \cos(x) - \int e^x \sin(x) \, dx\]
Observemos que la integral que aparece al final es la integral original \(I\). Por lo tanto, tenemos:
\[I = e^x \sin(x) - e^x \cos(x) - I\]
Ahora, podemos resolver esta ecuación para \(I\):
\[I + I = e^x \sin(x) - e^x \cos(x)\]
\[2I = e^x (\sin(x) - \cos(x))\]
\[I = \frac{1}{2} e^x (\sin(x) - \cos(x))\]
Finalmente, agregamos la constante de integración \(C\):
\[\int e^x \sin(x) \, dx = \frac{1}{2} e^x (\sin(x) - \cos(x)) + C\]
D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.
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