Ecuaciones diferenciales de segundo orden homogénea: Ejercicio 4
Resumen para resolver una Ecuación diferencial homogénea de segundo orden:
\[ ay'' + by' + cy = 0 \]
Ecuación auxiliar:
\[ a\lambda^2 + b\lambda + c = 0 \]
Casos de solución:
\( \textbf{Caso 1:} \textbf{Raíces reales distintas:} \lambda_1, \lambda_2 \).
\[ y(x) = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x} \]
\(\textbf{Caso 2:} \textbf{Raíz real repetida:} \lambda \).
\[ y(x) = c_1 e^{\lambda x} + c_2 x e^{\lambda x} \]
\( \textbf{Caso 3:} \textbf{Raíces complejas conjugadas:} \alpha \pm i\beta \).
\[ y(x) = e^{\alpha x} (A \cos(\beta x) + B \sin(\beta x)) \]
Ejercicio 4:
Resolver la ecuación diferencial:
\[ y'' + 9y = 0 \]
\(\textbf{Solución:}\)
1. Ecuación auxiliar:
\[ \lambda^2 + 9 = 0 \]
2. Raíces de la ecuación auxiliar:
\[ \lambda^2 = -9 \]
\[ \lambda = \pm \sqrt{-9} \]
\[ \lambda = \pm \sqrt{9} \cdot \sqrt{-1} \]
\[ \lambda = \pm 3i \]
3. Solución general:
Como las raíces son complejas conjugadas de la forma \( \alpha \pm i\beta \), donde \( \alpha = 0 \) y \( \beta = 3 \), la solución general es:
\[ y(x) = e^{\alpha x} (A \cos(\beta x) + B \sin(\beta x)) \]
\[ y(x) = e^{0x} (A \cos(3x) + B \sin(3x)) \]
\[ y(x) = A \cos(3x) + B \sin(3x) \]
Donde \( A \) y \( B \) son constantes arbitrarias. También podemos usar las constantes a \( C_1 \) y \( C_2 \):
\[ y(x) = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x) \]
\(\textbf{Comprobación:}\)
1. Primera derivada:
\[ y'(x) = -3C_1 \sin(3x) + 3C_2 \cos(3x) \]
2. Segunda derivada:
\[ y''(x) = -9C_1 \cos(3x) - 9C_2 \sin(3x) \]
3. Sustitución en la ecuación diferencial:
\[ y''(x) + 9y(x) = 0 \]
\[ (-9C_1 \cos(3x) - 9C_2 \sin(3x)) + 9(C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)) = 0 \]
\[ -9C_1 \cos(3x) - 9C_2 \sin(3x) + 9C_1 \cos(3x) + 9C_2 \sin(3x) = 0 \]
\[ 0 = 0 \]
Por lo tanto, la solución general es correcta.
Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.
Comentarios
Publicar un comentario