La integral de una función exponencial aplicando cambio de variables

A continuación explicamos la solución de la integral de una función exponencial. Esta es una información que te puede servir de guía para desarrollar habilidades en la solución de integrales, sin embargo es la practica constante la que te ayudará a desarrollas. 

Ejemplo: Resolver la siguiente integral:

\[ \int e^{2x+1} dx \]

Aplicamos el método de sustitución o cambio de variable para luego aplicar el teorema:

\[ \int e^u du=e^u +C\]

Hacemos:

\[ u = 2x + 1 \]

Ahora, derivamos \(u\) con respecto a \(x\) para encontrar \(du\):

\[ \frac{du}{dx} = 2 \]

Despejamos \(dx\):

\[ du = 2 dx \]

\[ dx = \frac{du}{2} \]

Sustituimos \(u\) y \(dx\) en la integral original para reescribirla en términos de \(u\):

\[ \int e^{2x+1} dx = \int e^u \frac{du}{2} \]

Sacamos la constante \(\frac{1}{2}\) de la integral:

\[ \frac{1}{2} \int e^u du \]

La integral de \(e^u\) es \(e^u\) más la constante de integración:

\[ \frac{1}{2} e^u + C \]

Finalmente, sustituimos \(u\) de nuevo por \(2x+1\):

\[ \frac{1}{2} e^{2x+1} + C \]

Donde \(C\) es la constante de integración.

Por lo tanto, la integral de \(e^{2x+1}\) con respecto a \(x\) es:

\[ \int e^{2x+1} dx = \frac{1}{2} e^{2x+1} + C \]

Bibliografía:

Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.

D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.

I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.