Análisis de sensibilidad (Cambios en los coeficientes objetivo): Un ejemplo practico

Problema

Una compañía fabrica dos productos, A y B. Los ingresos unitarios son \$2 y \$3, respectivamente. Las disponibilidades diarias de dos materias primas, M1 y M2, utilizadas en la fabricación de los dos productos son de 8 y 18 unidades, respectivamente. Una unidad de A utiliza 2 unidades de M1 y 2 unidades de M2, y una unidad de B utiliza 3 unidades de M1 y 6 unidades de M2.

(a) Determine la condición de optimalidad para que mantendrá el óptimo sin cambio.


(b) Determine los intervalos de optimalidad para cA y cB, suponiendo que el otro coeficiente se mantiene constante en su valor actual.


(c) Si los ingresos unitarios cA y cB cambian al mismo tiempo a $5 y $4, respectivamente, determine la nueva solución óptima.


(d) Si los cambios en (c) se hacen uno a la vez, qué se puede decir sobre la solución óptima?


(Hamdy A Taha, 2012)

Modelo de Programación Lineal


Maximizar \(Z = 2x_1 + 3x_2\)


Sujeto a:

\(2x_1 + 3x_2  \leq 8 \)

\(2x_1 + 6x_2  \leq 18 \)

\(x_1, x_2  \geq 0\)


Donde:

    \( x_1\): Cantidad de producto A

    \(x_2\): Cantidad de producto B


a) Condición de Optimalidad


La condición de optimalidad se mantiene si:


\[ \frac{1}{3} \leq \frac{C_A}{C_B} \leq \frac{2}{3} \]


b) Intervalos de Optimalidad


    Para \(C_A\) (con \(C_B\) constante): \(1 \leq C_A \leq 2\)

    Para \(C_B\) (con \(C_A\) constante): \(3 \leq C_B \leq 6\)


c) Nueva Solución Óptima (Cambio Simultáneo)


Si \(C_A = 5\) y \(C_B = 4\), la nueva función objetivo es:


\(Z = 5x_1 + 4x_2\)


Evaluando en los puntos extremos:


    \( Z(0, \frac{8}{3}) = 5(0) + 4(\frac{8}{3}) = \frac{32}{3}\)

    \( Z(4, 0) = 5(4) + 4(0) = 20  \)


La nueva solución óptima es \(x_1 = 4\), \(x_2 = 0\), con \(Z = 20\).


d) Cambios Individuales


   Si solo cambia \(C_A\) a 5:

        \(Z = 5x_1 + 3x_2\)

            \(Z(0, \frac{8}{3}) = 8\)

            \(Z(4, 0) = 20\)

    Solución óptima: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 0\), \(Z = 20\).

  Si solo cambia \(C_B\) a 4:

        \(Z = 2x_1 + 4x_2\)

                  \(Z(0, \frac{8}{3}) = \frac{32}{3}\)

            \(Z(4, 0) = 8\)

   Solución óptima: \(x_1 = 0\), \(x_2 = \frac{8}{3}\), \(Z = \frac{32}{3}\).


Hamdy A Taha (Ed.). (2012). Investigación de operaciones (Séptima edición). Pearson.

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