Método de Variación de Parámetros: Ejercicio 1


Método de Variación de Parámetros

El método de variación de parámetros es una técnica para encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de la forma:
\[ y' + f(x)y = r(x) \]

La solución general se expresa como:
\[ y = u \cdot v \]
donde:
\[ v = e^{-\int f(x) dx} \]
\[ u = \int \frac{r(x)}{v(x)} dx + C \]

Ejercicio 1:

Resolver la ecuación diferencial:
\[ \frac{dy}{dx} - 2y = -6 \]

Solución:

1.  Encontrar v: sabemos que \[ f(x) = -2 \]

    \[ v = e^{-\int -2 dx} = e^{2x} \]

2.  Encontrar u: sabemos que \( v =  e^{2x} \) y \( r(x)=-6 \)

    \[ u = \int \frac{-6}{e^{2x}} dx = -6 \int e^{-2x} dx = 3e^{-2x} + C \]

3.  Escribimos la solución general:

    \[ y = u \cdot v = (3e^{-2x} + C)e^{2x} = 3 + Ce^{2x} \]

    \[ y = 3 + Ce^{2x} \]


Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.

D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.

I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.

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