Ejercicio 1 Resolviendo una ecuación diferencial lineal homogénea

 Resuelve la siguiente ecuación diferencial:


    \[ \frac{dy}{dx} = 5y \]

    

Solución: 

Identificamos el tipo de ecuación:

    Es una ecuación diferencial lineal de primer orden homogénea. Se puede expresar como:

    \[ y' + f(x)y = r(x) \]

    En este caso:

    \[ y' - 5y = 0 \]

    

El método de solución es por variables separables:

Separamos variables:

    \[ \frac{dy}{dx} = 5y \]

    \[ dy = 5y \, dx \]

    \[ \frac{dy}{y} = 5 \, dx \]

    

 Integramos a ambos lados:

    \[ \int \frac{dy}{y} = \int 5 \, dx \]

    \[ \ln|y| = 5x + C_3 \]

    

 Despejamos y aplicando \(e\) a ambos lados de la ecuación:

    \[ e^{\ln|y|} = e^{5x + C_3} \]

    \[ |y| = e^{5x} \cdot e^{C_3} \]

    \[ y = e^{5x} \cdot C \] (donde \(C = \pm e^{C_3}\))

    \[ y = Ce^{5x} \]

    

    Comprobación:

    Derivamos la solución:

    \[ y' = 5Ce^{5x} \]

    Sustituimos \(y\) e \(y'\) en la ecuación diferencial original:

    \[ \frac{dy}{dx} = 5y \]

    \[ 5Ce^{5x} = 5Ce^{5x} \]


Bibliografía:


Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.
D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.

I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.

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