Integrales que se resuelven por cambio de variables: Solución de un ejemplo paso a paso

En esta entrada explicamos el paso a paso para resolver una integral aplicando cambio de variable, lo hacemos a través de la solución del siguiente ejemplo, la idea es que esta información te sirva para practicar las solución de integrales, la clave está en practicar por tu cuenta. 

Resolver la siguiente integral\(\int \frac{2v+1}{2v^2+2v+2} dv\)


Paso 1: Simplificación inicial


Primero, podemos reescribir la integral factorizando, observamos que el denominador tiene factor común 2:


\(\int \frac{2v+1}{2(v^2+v+1)} dv\)


Luego, sacamos la constante 1/2 fuera de la integral:


\(\frac{1}{2} \int \frac{2v+1}{v^2+v+1} dv\)


Paso 2: Aplicamos cambio de variable


Realizamos un cambio de variable para simplificar la integral. El cambio de variables consiste en reescribirla integral en términos de otra variable en este caso u y que al reescribirla esta sea más fácil de integrar. 

Hacemos:

\(u = v^2 + v + 1\)

Entonces, la derivada de \(u\) con respecto a \(v\) es:


\(\frac{du}{dv} = 2v + 1\)


Despejando \(du\), obtenemos:


\(du = (2v+1) dv\)


Paso 3: Reescribimos la integral


Sustituimos \(u\) y \(du\) en la integral:


\(\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du\)


Paso 4: Integramos directamente


La integral de \(\frac{1}{u}\) con respecto a \(u\) es \(\ln|u|\):


\(\frac{1}{2} \ln|u| + C\)


Paso 5: sustituimos la variable original


Reemplazamos \(u\) con \(v^2 + v + 1\):


\(\frac{1}{2} \ln|v^2 + v + 1| + C\)


Escribimos la solución final:


Por lo tanto, la solución de la integral es:


\(\int \frac{2v+1}{2v^2+2v+2} dv = \frac{1}{2} \ln|v^2 + v + 1| + C\)



Bibliografía:


Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.
D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.

I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.

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