Ejercicio 3: Resolución de una Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden homogénea

Consideremos la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden:

\[ \frac{dy}{dx} + 2y = 0 \]

Esta ecuación es homogénea, ya que está igualada a cero.

Paso 1: Separación de Variables

Procedemos a separar las variables \(y\) y \(x\):

\[ \frac{dy}{dx} = -2y \]

\[ dy = -2y \, dx \]

\[ \frac{dy}{y} = -2 \, dx \]

Paso 2: Integración

Integramos ambos lados de la ecuación:

\[ \int \frac{dy}{y} = \int -2 \, dx \]

\[ \ln|y| = -2x + C_1 \]

Paso 3: Despeje de \(y\)

Aplicamos la función exponencial a ambos lados para despejar \(y\):

\[ e^{\ln|y|} = e^{-2x + C_1} \]

\[ |y| = e^{-2x} \cdot e^{C_1} \]

Dado que \(e^{C_1}\) es una constante positiva, podemos reescribirla como \(C\), donde \(C\) puede ser positiva o negativa:

\[ y = C e^{-2x} \]

Paso 4: Comprobación

Para verificar la solución, derivamos \(y\) con respecto a \(x\):

\[ y' = -2C e^{-2x} \]

Sustituimos \(y\) e \(y'\) en la ecuación diferencial original:

\[ \frac{dy}{dx} + 2y = 0 \]

\[ -2C e^{-2x} + 2(C e^{-2x}) = 0 \]

\[ -2C e^{-2x} + 2C e^{-2x} = 0 \]

\[ 0 = 0 \]

Al cumplirse la igualdad verificamos que la solución es correcta.

Bibliografía:

Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.

D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.

I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.