Método de coeficientes indeterminados para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas con r(x) un polinomio

Resolver la siguiente ecuación diferencial usando el método de coeficientes indeterminados:

\[\frac{1}{4} y''+y'+y=x^2-2x\]

Solución:


1. Resolver la ecuación homogénea:


Resolvemos la ecuación homogénea asociada:


\[ \frac{1}{4}y'' + y' + y = 0 \]


La ecuación característica es:


\[\frac{1}{4} \lambda^2+\lambda +1=0\]


Usamos la fórmula cuadrática para encontrar las raíces:


\[ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]


Donde a = 1, b = 1 y c = 1. Sustituyendo:


\[ \lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(\frac{1}{4})(1)}}{2(\frac{1}{4})} \]

\[ \lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{1-1}}{\frac{1}{2}} \]

\[ \lambda = -\frac{1}{\frac{1}{2}}\] 

\[ \lambda_2 = -2\]

Las raíces reales e iguales:

La solución general de la ecuación homogénea es:


\[ y_h =c_1 e^{-2x}+c_2xe^{-2x} \]


2. Encontrar la solución particular:


Como el lado derecho de la ecuación es un polinomio de grado 2, proponemos una solución particular de la forma:


\[ y_p = Ax^2 + Bx + C \]


Calculamos la primera y segunda derivada:


\[ y_p' = 2Ax + B \]

\[ y_p'' = 2A \]


Sustituimos y_p, y_p' e y_p'' en la ecuación original:


\[\frac{1}{4}\cdot 2A + (2Ax + B) + (Ax^2 + Bx + C) = x^2 - 2x \]


Agrupamos términos:


\[Ax^2+(2A+B)+(\frac{1}{2}A+B+C)=x^2-2x\]


Igualamos los coeficientes de los términos correspondientes:


\[ A = 1 \]

\[ 2A + B = -2 \]

\[\frac{1}{2}A+B+C=0\]


Resolvemos el sistema de ecuaciones:

\[ A = 1 \]

\[ 2(1) + B = -2 \Rightarrow B = -4 \]

\[\frac{1}{2}A + B + C = 0 \Rightarrow \frac{1}{2}(1) - 4 + C = 0 \Rightarrow C = 4 - \frac{1}{2} \Rightarrow C = \frac{7}{2}\]


Por lo tanto, la solución particular es:


\[ y_p = x^2 - 4x + \frac{7}{2} \]


3. Solución general:


La solución general de la ecuación diferencial es la suma de la solución homogénea y la solución particular:


\[ y = y_h + y_p \]

\[y=c_1e^{-2x}+c_2xe^{-2x}+x^2-4x+\frac{7}{2}\]


Donde \(c_1\) y \(c_2\) son constantes arbitrarias.


D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.


I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.

Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.



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