Resolviendo Integrales inmediatas con Exponentes Racionales

 

En esta entrada, resolveremos un ejercicio de cálculo integral que involucra una función elevada a una potencia fraccionaria. A través de un paso a paso, desglosaremos la solución de una integral propuesta, aplicando la regla de integración de la potencia.

Ejemplo: resolver la Integral \(\int x^{\frac{4}{3}} dx\)

Solución:

Aplicamos la regla de la potencia para la integración que establece:

    

  \[\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\]

    

    donde \(n\) es cualquier número real diferente de -1, y \(C\) es la constante de integración.

    

    En nuestro caso, \(n = \frac{4}{3}\). Aplicando la regla, obtenemos:

    

  \[\int x^{\frac{4}{3}} dx = \frac{x^{\frac{4}{3} + 1}}{\frac{4}{3} + 1} + C\]

    

 Simplificamos el exponente y el denominador:

 Como lo indica la regla de la potencia sumamos 1 al exponente y al denominador:

    

   \[\frac{4}{3} + 1 = \frac{4}{3} + \frac{3}{3} = \frac{7}{3}\]

    

    Entonces, la expresión se convierte en:

    

    \[\frac{x^{\frac{7}{3}}}{\frac{7}{3}} + C\]

    

    Simplificamos la fracción:

    Dividir por una fracción es lo mismo que multiplicar por su inverso multiplicativo:

    

   \[\frac{x^{\frac{7}{3}}}{\frac{7}{3}} = \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}\]

    

 Por lo tanto, la integral indefinida es:

    

   \[\int x^{\frac{4}{3}} dx = \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C\]

Hemos resuelto la integral indefinida utilizando la regla de la potencia. La constante de integración \(C\) es crucial, ya que representa la familia de funciones que tienen la misma derivada, desde el contexto de las ecuaciones diferenciales estas forman una familia de curvas. Este ejemplo demuestra la aplicación práctica de las reglas de integración y su importancia en el cálculo.


Bibliografía:


Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.
D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.

I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.

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