Método de Variación de Parámetros: Ejercicio 7
Ejercicio 7
Resolver la siguiente ecuación diferencial:
\[ \frac{dy}{dx} + \sec(x) y = \cos(x) \]
Solución:
1. Calculamos \( v \):
\[ v = e^{-\int \sec(x) dx} = e^{-\ln|\sec(x) + \tan(x)|} = e^{\ln|\sec(x) + \tan(x)|^{-1}} = \frac{1}{\sec(x) + \tan(x)} \]
2. Calculamos la solución general \( u \):
\[ u = \int \frac{\cos(x)}{\frac{1}{\sec(x) + \tan(x)}} dx + C \]
\[ u = \int \cos(x) \cdot (\sec(x) + \tan(x)) dx + C \]
\[ u = \int \cos(x) \cdot {\frac{1}{\cos(x)} + \cos(x) \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)}} dx + C \]
\[ u = \int {1 + \sin(x)} dx + C \]
\[ u = x - \cos(x) + C \]
3. Solución final:
\[ u = x - \cos(x) + C \]
\[ v = \frac{1}{\sec(x) + \tan(x)} \]
\[ y = u \cdot v \]
\[ y = (x - \cos(x) + C) \cdot \frac{1}{\sec(x) + \tan(x)} \]
\[ y = \frac{x - \cos(x) + C}{\sec(x) + \tan(x)} \]
Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.
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