Método de Variación de Parámetros: Ejercicio 2

Ejercicio 2

Resolver la ecuación diferencial:
\[ \frac{dy}{dx} - 2y = x \]

Solución:

1.  Encontrar v: sabemos que \(f(x)=-2\) y que
    \[ v = e^{-\int f(x) dx}\]
    \[ v = e^{-\int -2 dx} = e^{2x} \]

2.  Encontrar u: sabemos que \(v=e^{2x}\),  \(r(x)=x\)
  \[ u = \int \frac{r(x)}{v(x)} dx + C  \]
    \[ u = \int \frac{x}{e^{2x}} dx + C = \int xe^{-2x} dx + C \]

3.  Resolver la integral por partes: usamos los subíndices en las variable \(u\) y \(v\) para evitar confusión con las formulas propias del método de variación de parámetros.

    Hacemos:
    \[ u_1 = x \quad dv_1 = e^{-2x} dx \]
    \[ du_1 = dx \quad v_1 = -\frac{1}{2}e^{-2x} \]

    Aplicamos la fórmula de integración por partes:

    \[ \int u_1 dv_1 = u_1 v_1 - \int v_1 du_1 \]
    \[ \int xe^{-2x} dx = -\frac{1}{2}xe^{-2x} - \int -\frac{1}{2}e^{-2x} dx \]
    \[ = -\frac{1}{2}xe^{-2x} + \frac{1}{2}\int e^{-2x} dx \]
    \[ = -\frac{1}{2}xe^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} \]

4.  Sustituir en u:
    \[ u = -\frac{1}{2}xe^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} + C \]

5.  Solución general:
    \[ y = uv = e^{2x} \left( -\frac{1}{2}xe^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} + C \right) \]
    \[ y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{4} + Ce^{2x} \]




Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.

D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.

I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.

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