Ecuaciones diferenciales de segundo orden homogénea: Ejercicio 1

Resumen para resolver una Ecuación diferencial homogénea de segundo orden:

\[ ay'' + by' + cy = 0 \]

Ecuación auxiliar:

\[ a\lambda^2 + b\lambda + c = 0 \]


Casos de solución:

  \( \textbf{Caso 1:} \textbf{Raíces reales distintas:} \lambda_1, \lambda_2 \).

        \[ y(x) = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x} \]

    \(\textbf{Caso 2:} \textbf{Raíz real repetida:} \lambda \).

        \[ y(x) = c_1 e^{\lambda x} + c_2 x e^{\lambda x} \]

   \( \textbf{Caso 3:} \textbf{Raíces complejas conjugadas:}  \alpha \pm i\beta \).

        \[ y(x) = e^{\alpha x} (A \cos(\beta x) + B \sin(\beta x)) \]


Ejercicio 1: Resolver la siguiente ecuación diferencial de segundo orden:


\[ y'' + 6y' + 9y = 0 \]

Solución: Para resolver la ecuación de segundo orden homogénea usamos su ecuación auxiliar o característica.

1. Ecuación característica:

   Asumimos una solución de la forma \( y = e^{\lambda x} \). Sustituyendo en la ecuación diferencial, obtenemos la ecuación característica:

   \[ \lambda^2 + 6\lambda + 9 = 0 \]


2. Raíces de la ecuación característica:

   Factorizamos la ecuación cuadrática:

   \[ (\lambda + 3)(\lambda + 3) = 0 \]

   Esto nos da una raíz repetida:

   \[ \lambda = -3 \]


3. Solución general:

   Dado que tenemos una raíz repetida, la solución general es de la forma:

   \[ y(x) = c_1 e^{-3x} + c_2 x e^{-3x} \]

   donde \( c_1 \) y \( c_2 \) son constantes arbitrarias.


Comprobación:


1. Primera derivada:

   \[ y'(x) = -3c_1 e^{-3x} + c_2 e^{-3x} - 3c_2 x e^{-3x} \]


2. Segunda derivada:

   \[ y''(x) = 9c_1 e^{-3x} - 3c_2 e^{-3x} - 3c_2 e^{-3x} + 9c_2 x e^{-3x} \]

   \[ y''(x) = 9c_1 e^{-3x} - 6c_2 e^{-3x} + 9c_2 x e^{-3x} \]


3. Sustitución en la ecuación diferencial:

   \[ (9c_1 e^{-3x} - 6c_2 e^{-3x} + 9c_2 x e^{-3x}) + 6(-3c_1 e^{-3x} + c_2 e^{-3x} - 3c_2 x e^{-3x}) + 9(c_1 e^{-3x} + c_2 x e^{-3x}) \]

   \[ = (9c_1 - 18c_1 + 9c_1)e^{-3x} + (-6c_2 + 6c_2)e^{-3x} + (9c_2 - 18c_2 + 9c_2)x e^{-3x} \]

   \[ = 0e^{-3x} + 0e^{-3x} + 0x e^{-3x} = 0 \]


Por lo tanto, la solución general es correcta.



Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.

D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.

I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.

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