Ecuaciones diferenciales de segundo orden homogénea: Ejercicio 2
Resumen para resolver una Ecuación diferencial homogénea de segundo orden:
\[ ay'' + by' + cy = 0 \]
Ecuación auxiliar:
\[ a\lambda^2 + b\lambda + c = 0 \]
Casos de solución:
\( \textbf{Caso 1:} \textbf{Raíces reales distintas:} \lambda_1, \lambda_2 \).
\[ y(x) = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x} \]
\(\textbf{Caso 2:} \textbf{Raíz real repetida:} \lambda \).
\[ y(x) = c_1 e^{\lambda x} + c_2 x e^{\lambda x} \]
\( \textbf{Caso 3:} \textbf{Raíces complejas conjugadas:} \alpha \pm i\beta \).
\[ y(x) = e^{\alpha x} (A \cos(\beta x) + B \sin(\beta x)) \]
Ejercicio 2:
Resolver la ecuación diferencial:
\[ 4y'' + y' = 0 \]
\(\textbf{Solución:}\)
1. Ecuación auxiliar:
\[ 4\lambda^2 + \lambda = 0 \]
\[ \lambda(4\lambda + 1) = 0 \]
2. Raíces de la ecuación auxiliar:
\[ \lambda_1 = 0 \]
\[ 4\lambda + 1 = 0 \Rightarrow \lambda_2 = -\frac{1}{4} \]
3. Solución general:
\[ y(x) = c_1 e^{0x} + c_2 e^{-\frac{1}{4}x} \]
\[ y(x) = c_1 + c_2 e^{-\frac{1}{4}x} \]
\(\textbf{Comprobación:}\)
1. Primera derivada:
\[ y'(x) = -\frac{1}{4} c_2 e^{-\frac{1}{4}x} \]
2. Segunda derivada:
\[ y''(x) = \frac{1}{16} c_2 e^{-\frac{1}{4}x} \]
3. Sustitución en la ecuación diferencial:
\[ 4\left(\frac{1}{16} c_2 e^{-\frac{1}{4}x}\right) + \left(-\frac{1}{4} c_2 e^{-\frac{1}{4}x}\right) = 0 \]
\[ \frac{1}{4} c_2 e^{-\frac{1}{4}x} - \frac{1}{4} c_2 e^{-\frac{1}{4}x} = 0 \]
\[ 0 = 0 \]
Por lo tanto, la solución general es correcta.
Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.
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