Ejercicio 2 Resolviendo una ecuación diferencial lineal de primer orden no homogénea

Resuelve la Ecuación diferencial lineal de primer orden no homogénea:

\(3 \frac{dy}{dx} + 12y = 4\)


Solución: Verificamos si la ecuación tiene la forma \(\frac{dy}{dx} + f(x)y = r(x)\) para esto dividimos entre 3.


Dividiendo entre 3:

\(\frac{dy}{dx} + 4y = \frac{4}{3}\)


Resolvemos por el método del factor integrante:

Calculamos el factor integrante (FI):

\(FI = e^{\int 4 dx} = e^{4x}\)


Multiplicando la ecuación diferencial por el FI:

\(e^{4x} \frac{dy}{dx} + 4e^{4x}y = \frac{4}{3}e^{4x}\)


Reescribiendo el lado izquierdo como la derivada con respecto a x del producto del factor integrante y la función “y”:

\(\frac{d}{dx}(e^{4x}y) = \frac{4}{3}e^{4x}\)


Separando variables:

\(d(e^{4x}y) = \frac{4}{3}e^{4x} dx\)


Integrando a ambos lados:

\(\int d(e^{4x}y) = \int \frac{4}{3}e^{4x} dx\)


\(e^{4x}y = \frac{4}{3} \cdot \frac{e^{4x}}{4} + C\)


\(e^{4x}y = \frac{1}{3}e^{4x} + C\)


Despejando y:

\(y = \frac{\frac{1}{3}e^{4x} + C}{e^{4x}}\)


\(y = \frac{1}{3} + Ce^{-4x}\)


Comprobación:

\(y' = -4Ce^{-4x}\)


Sustituyendo y  y y' en la ecuación original:

\(3(-4Ce^{-4x}) + 12(\frac{1}{3} + Ce^{-4x}) = 4\)


\(-12Ce^{-4x} + 4 + 12Ce^{-4x} = 4\)


\(4 = 4\)


Se cumple la igualdad por lo que concluimos que \(y = \frac{1}{3} + Ce^{-4x}\) es solución de la ecuación diferencial \(3 \frac{dy}{dx} + 12y = 4\)




Bibliografía:

Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.
D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.

I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.

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