Programación Lineal: Precios duales con variables de decisión-método grafico

Solución al Problema de Programación Lineal - Precios Duales - Método grafico.

Problema

Una compañía fabrica dos productos, A y B. Los ingresos unitarios son $2 y $3, respectivamente. Las disponibilidades diarias de dos materias primas, M1 y M2, utilizadas en la fabricación de los dos productos son de 8 y 18 unidades, respectivamente. Una unidad de A utiliza 2 unidades de M1 y 2 unidades de M2, y una unidad de B utiliza 3 unidades de M1 y 6 unidades de M2.

(Hamdy A Taha, 2012)

Solución:

a) Determine los precios duales de M1 y M2 y sus intervalos de factibilidad.

La función objetivo a maximizar es: \[ Z = 2x_1 + 3x_2 \] donde \((x_1)\) es la cantidad del producto A y \((x_2)\) es la cantidad del producto B.

Las restricciones son:

 \[ 2x_1 + 3x_2 \leq 8 \quad \text{(M1)} \]

 \[2x_1 + 6x_2 \leq 18 \quad \text{(M2)}\]

 \[ x_1, x_2 \geq 0 \]



Análisis de Precios Duales en Programación Lineal

Aumentando la Capacidad de Materia Prima M1:

\[\text{Maximizar } Z = 2x_1 + 3x_2 \]

\[\text{Sujeto a: }  \]

\[2x_1 + 3x_2 \leq 9 \]

\[2x_1 + 6x_2 \leq 18 \]

\[x_1, x_2 \geq 0\]



Evaluamos los puntos extremos:

\[Z(0, 3) = 2(0) + 3(3) = 9\]

\[Z(4.5, 0) = 2(4.5) + 3(0) = 9\]


El cambio en el valor óptimo es:


\[Z_c - Z_A = 9 - 8 = 1\]


El precio dual de M1 es:

\[\frac{\text{cambio en el valor óptimo}}{\text{cambio en la capacidad}} =\frac{9 - 8}{9 - 8} = 1\]


Aumentando la Capacidad de Materia Prima M2

\[\text{Maximizar } Z = 2x_1 + 3x_2 \]

\[\text{Sujeto a: }  \]

\[2x_1 + 3x_2 \leq 8 \]

\[2x_1 + 6x_2 \leq 19 \]

\[x_1, x_2 \geq 0\]



Evaluamos los puntos extremos:

\[Z(0, \frac{8}{3}) = 2(0) + 3(\frac{8}{3}) = 8\]

\[Z(4, 0) = 2(4) + 3(0) = 8\]


El cambio en el valor óptimo es:


\[Z_c - Z_A = 8 - 8 = 0\]


El precio dual de M2 es:


\[\frac{\text{cambio en el valor óptimo}}{\text{cambio en la capacidad}} =\frac{8 - 8}{19 - 18} = 0\]


De la solución manuscrita, se observa que el precio dual de M1 es $1 y el precio dual de M2 es $0.

Para determinar los intervalos de factibilidad, se analizan los cambios en la disponibilidad de las materias primas.

b) Suponga que pueden adquirirse 4 unidades más de M1 al costo de 30 centavos por unidad. ¿Recomendaría la compra adicional?

Si se aumentan 4 unidades de M1, el costo total es \(4 \times $0.30 = $1.20\). El ingreso adicional por el precio dual de M1 es \(4 \times $1 = $4\). La utilidad es el ingreso adicional menos el costo adicional: \($4 - $1.20 = $2.80\).

Sí, se recomendaría la compra adicional ya que la utilidad es positiva.

c) ¿Cuánto es lo máximo que la compañía debe pagar por unidad de M2?

Lo máximo que la compañía debería pagar por unidad de M2 es el precio dual de M2, que es $0.

d) Si la disponibilidad de M2 se incrementa en 5 unidades, determine el ingreso óptimo asociado.

Si la disponibilidad de M2 se incrementa en 5 unidades, el ingreso óptimo asociado será de $8 



Hamdy A Taha (Ed.). (2012). Investigación de operaciones (Séptima edición). Pearson.

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