Ecuaciones diferenciales aplicada a un cuerpo lanzado verticalmente hacia abajo tomando en cuenta la resistencia del aire
Este es un ejemplo clásico donde un fenómeno físico "Lanzamiento vertical descendente" se puede modelar a través de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales.
Problema: Un objeto que pesa 30 Newton se lanza desde una altura de 40 m, con una velocidad inicial de 3 m/seg. Supongamos que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo. Se sabe que la velocidad límite debe ser de 40 m/seg. Encontrar: 1. La expresión de la velocidad del objeto en un tiempo t, 2. la expresión para la posición del cuerpo en un tiempo t y 3. la velocidad después de 8 segundos.
Consideremos un objeto de peso \(m = 30\) Newton que cae desde una altura de 40 metros. El objeto experimenta una fuerza de resistencia del aire proporcional a su velocidad, dada por \(F_{resistencia} = kv\), donde \(k = \frac{3}{4}\) es la constante de proporcionalidad.
La fuerza neta que actúa sobre el objeto es la diferencia entre el peso y la resistencia del aire:
\[ F_{neta} = mg - kv \]
Aplicando la segunda ley de Newton, \(F = ma\), tenemos:
\[ ma = mg - kv \]
Como la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, \(a = \frac{dv}{dt}\), obtenemos la ecuación diferencial:
\[ m\frac{dv}{dt} = mg - kv \]
Dividiendo por \(m\):
\[ \frac{dv}{dt} = g - \frac{k}{m}v \]
Sustituyendo los valores conocidos \(m = 3\) kg, \(g = 10\) m/s\(^2\), \(k = \frac{3}{4}\):
\[ \frac{dv}{dt} = 10 - \frac{3/4}{3}v \]
\[ \frac{dv}{dt} = 10 - \frac{1}{4}v \]
Reescribimos la ecuación diferencial como lineal de primer orden no homogénea:
\[ \frac{dv}{dt} + \frac{1}{4}v = 10 \]
Podemos resolverla utilizando el método del factor integrante.
El factor integrante es:
\[ FI = e^{\int \frac{1}{4} dt} = e^{\frac{t}{4}} \]
Multiplicamos ambos lados de la ecuación diferencial por el factor integrante:
\[ e^{\frac{t}{4}}\frac{dv}{dt} + \frac{1}{40}e^{\frac{t}{4}}v = 10e^{\frac{t}{4}} \]
El lado izquierdo es la derivada del producto \(ve^{\frac{t}{4}}\):
\[ \frac{d}{dt}(ve^{\frac{t}{4}}) = 10e^{\frac{t}{4}} \]
Integramos ambos lados con respecto a \(t\):
\[ \int \frac{d}{dt}(ve^{\frac{t}{4}}) dt = \int 10e^{\frac{t}{4}} dt \]
\[ ve^{\frac{t}{40}} = 40e^{\frac{t}{4}} + C \]
Multiplicamos por \(e^{-\frac{t}{40}}\):
\[ v(t) = 40 + Ce^{-\frac{t}{4}} \]
Aplicamos las condiciones Iniciales
En \(t = 0\), la velocidad inicial es \(v(0) = 3\) m/s:
\[ 3 =40 + Ce^{-\frac{0}{4}} \]
\[ C = -37 \]
Por lo tanto, la velocidad en función del tiempo es:
\[ v(t) = 40 - 37e^{-\frac{t}{4}} \]
Posición en Función del Tiempo: Para encontrar la posición \(x(t)\), integramos la velocidad con respecto al tiempo:
\[ x(t) = \int v(t) dt = \int (40 -37e^{-\frac{t}{4}}) dt \]
\[ x(t) = 40t + 148e^{-\frac{t}{4}} + D \]
En \(t = 0\), la posición inicial es \(x(0) = 0\):
\[ 0 = 40(0) + 148e^{-\frac{0}{4}} + D \]
\[ D = -148 \]
Por lo tanto, la posición en función del tiempo es:
\[ x(t) = 40t + 148e^{-\frac{t}{4}} -148\]
La velocidad después de 8 segundos:
\[ v(t) = 40 - 37e^{-\frac{t}{4}} \]
\[ v(8) = 40 - 37e^{-\frac{8}{4}} \]
\[ v(8) = 34.99 \]
\[ v(8) = 35 \quad \text {m/s}\]
Bibliografía:
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