Ejercicio 4: Resolución de una Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden

Consideremos la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden:

\[ x \frac{dy}{dx} + 2y = 3 \]

Paso 1: Dividir entre \(x\)

Dividimos toda la ecuación entre \(x\) para obtener la forma estándar:

\[ \frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = \frac{3}{x} \]

Paso 2: Encontrar el Factor Integrante

El factor integrante (FI) se calcula como:

\[ FI = e^{\int \frac{2}{x} dx} \]

\[ \int \frac{2}{x} dx = 2 \ln|x| = \ln|x^2| \]

\[ FI = e^{\ln|x^2|} = x^2 \]

Paso 3: Multiplicar la Ecuación por el Factor Integrante

Multiplicamos toda la ecuación por el factor integrante \(x^2\):

\[ x^2 \frac{dy}{dx} + 2x y = 3x \]

Paso 4: Reescribir el Lado Izquierdo

El lado izquierdo se puede reescribir como la derivada de un producto entre el factor integrante y la función y:

\[ \frac{d}{dx}(x^2 y) = 3x \]

Paso 5: Integrar Ambos Lados

Integramos ambos lados con respecto a \(x\):

\[ \int \frac{d}{dx}(x^2 y) dx = \int 3x dx \]

\[ x^2 y = \frac{3x^2}{2} + C \]

Paso 6: Despejar \(y\)

Dividimos ambos lados por \(x^2\) para despejar \(y\):

\[ y = \frac{\frac{3x^2}{2} + C}{x^2} \]

\[ y = \frac{3}{2} + \frac{C}{x^2} \]

Paso 7: Comprobación

Derivamos \(y\) con respecto a \(x\):

\[ y' = -2Cx^{-3} \]

Sustituimos \(y\) e \(y'\) en la ecuación diferencial original:

\[ x \frac{dy}{dx} + 2y = 3 \]

\[ x(-2Cx^{-3}) + 2\left(\frac{3}{2} + Cx^{-2}\right) = 3 \]

\[ -2Cx^{-2} + 3 + 2Cx^{-2} = 3 \]

\[ 3 = 3 \]

Al cumplirse la igualdad verificamos que la solución es correcta.

Bibliografía:

Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.

D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.

I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.