Integración por Cambio de Variable: Un Ejemplo Práctico


Identificar cuando podemos aplicar un cambio de variable para resolver integrales es importante ya que las integrales juegan un papel importante al momento de resolver ecuaciones diferenciales. A continuación explicamos los pasos necesarios para resolver una integral aplicando cambio de variables. 

Ejemplo: Resolver de la Integral \[\int \frac{dx}{(3x-4)^4}\]

Resolveremos una integral utilizando el método de cambio de variable. El objetivo es encontrar la antiderivada de la función dada. Resolver la integral por cambio de variable consiste en reescribir la integral en términos de otra variable y la integral resultante debe de ser más fácil de resolver.

La integral a resolver es:

\[\int \frac{dx}{(3x-4)^4}\]

Solución:

1. Para lograr el cambio de variable:

   Hacemos \(u = 3x - 4\). 

luego, la derivada de \(u\) con respecto a \(x\) es:

   \[   \frac{du}{dx} = 3   \]

   Despejamos \(dx\), para luego sustituir \(u\) y  \(dx\) en la integral original y lograr el cambio de variables por lo que obtenemos:

   \[dx = \frac{du}{3}\]

2. Hacemos la sustitución en la integral para realizar el cambio de variable y reescribir la integral original en términos de la variable u que resultará más fácil de integrar:

   Reemplazamos \(3x - 4\) por \(u\) y \(dx\) por \(\frac{du}{3}\) en la integral original:

   \[   \int \frac{dx}{(3x-4)^4} = \int \frac{1}{u^4} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int u^{-4} du   \]

3. Aplicamos la regla de la potencia:

   La regla de la potencia para la integración establece que \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\). Aplicamos esta regla a nuestra integral:

   \[   \frac{1}{3} \int u^{-4} du = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^{-3}}{-3} + C   \]

4. Simplificamos:

   \[   \frac{1}{3} \cdot \frac{u^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{9} u^{-3} + C   \]

5. Reemplazamos \(u\) por \(3x - 4\):

   \[   -\frac{1}{9} u^{-3} + C = -\frac{1}{9(3x-4)^3} + C   \]

Obtenemos el resultado final

\[\int \frac{dx}{(3x-4)^4} = -\frac{1}{9(3x-4)^3} + C\]


Bibliografía:


Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.
D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.

I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.

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