Integral de sen(4x^2) Aplicando Cambio de Variable: Un Ejemplo Práctico

En esta entrada, exploraremos un método eficaz para resolver integrales de funciones trigonométricas donde el argumento de la función (lo que está dentro del seno, coseno, etc.) puede ser utilizado como nuestra variable de sustitución \(u\). Aprenderás a identificar cuándo esta técnica es aplicable y cómo llevarla a cabo paso a paso, tal como se describe en el siguiente ejemplo:

Ejemplo: Resolver la integral \[\int x \cdot \sin(4x^2) \, dx\]

Solución: Resolvemos la integral aplicando el teorema 

 \[\int x \cdot \sin(u) \, dx=-\cos(u)+C\]

Para ello aplicamos el siguiente cambio de variables

Hacemos \(u = 4x^2\).
Derivamos \(u\) con respecto a \(x\), \(\frac{du}{dx} = 8x\), lo que implica que \(du = 8x \, dx\) y \(\frac{du}{8} = x \, dx\).

Hacemos el cambio de variable sustituyendo \(u\) y \(xdx\) en la integral original para reescribirla en términos de \(u\):

\[\int x \cdot \sin(4x^2) \, dx = \int \sin(u) \cdot \frac{du}{8}\] 
 \[=\frac{1}{8} \int \sin(u) \, du\] 
\[=\frac{1}{8} (-\cos(u)) + C\] 
 \[=-\frac{1}{8} \cos(u) + C\] 
\[=-\frac{1}{8} \cos(4x^2) + C\]

Por lo tanto, la solución de la integral es:
\[\int x \cdot \sin(4x^2) \, dx = -\frac{1}{8} \cos(4x^2) + C\]


Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.
D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.

I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.

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