Integración de funciones formadas por polinomio y una función exponencial. Integración por partes

La integración por partes es una herramienta importante en el cálculo integral, especialmente útil cuando vamos a resolver integrales con funciones que son el producto de dos funciones distintas.

En esta entrada, nos centraremos en un caso particular: la integración de funciones formadas por un polinomio y una función exponencial. 

Aprenderás a identificar cuándo aplicar esta técnica y cómo llevarla a cabo paso a paso, con un ejemplo práctico que te servirá de guía para resolver ejercicios similares.

Resolver de la integral \(\int xe^{2x} \, dx\) mediante integración por partes:

Solución: Utilizaremos la fórmula de integración por partes: \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\).

Cuando tenemos la integral de una función polinómica en este caso \(x\) y una función exponencial en este caso \(e^{2x}\), hacemos \(u\) la función polinómica y \(dv\) la función exponencial con su respectivo diferencial.

De acuerdo a lo anterior \[u = x \]

\[dv = e^{2x} \, dx\]

Calculamos \(du\) derivando \(u\) con respecto a \(x\):

\[du = dx \]

Calculamos \(v\) integrando \[dv = e^{2x} \, dx\]:

\[v = \frac{1}{2} e^{2x}\]

Aplicando la fórmula de integración por partes:

\[\int u \, dv = uv - \int v \, du\]

\[\int xe^{2x} \, dx = x \left( \frac{1}{2} e^{2x} \right) - \int \frac{1}{2} e^{2x} \, dx \]

\[= \frac{1}{2} xe^{2x} - \frac{1}{2} \int e^{2x} \, dx\]

\[= \frac{1}{2} xe^{2x} - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} e^{2x} \right) + C \]

\[= \frac{1}{2} xe^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} + C\]

Por lo tanto, la solución de la integral es:

\[\int xe^{2x} \, dx = \frac{1}{2} xe^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} + C\]

Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.

D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.

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